【円順列】を例題と共に解説

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例題5人(Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん)を丸テーブルに座らせるとき、その座り方は何通りあるか。

5人を順番に並べるには、順列の公式(P)を使えばOKです。
<【順列の公式】Pについて徹底解説【良質な例題を用意】>

しかし、丸テーブルに座らせると【円順列】となり、順列の公式が使えません。

 

理系の博士
理系の博士

そこで、

  1. 普通の順列との違い
  2. 公式
  3. 円順列の計算の方法

をしっかり解説していきます!

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普通の順列との違い

例題(円順列)5人(Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん)を丸テーブルに座らせるとき、その座り方は何通りあるか。

この例題は円順列の問題です。解くには少しコツが必要です。

最初に普通の順列との違いを学んでおきましょう!

普通の順列の場合

例題(普通の順列)5人(Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん)を1列に並べるとき、その座り方は何通りあるか。

この場合は組み合わせの公式を使えば1発で解けます。

$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ P }_5&=&5!\\&=&5\times4\times3\times2\times1\\&=&120\end{eqnarray}$$

この中には、

$$A-B-C-D-E\\B-A-C-D-E$$

などのパターンがあります。しかし、円順列の場合はこの通りではありません。

なぜなら、

$$A-B-C-D-E\\C-D-E-A-B\\E-A-B-C-D$$

などは円順列では同じと扱います。

理系博士
理系博士

結局全て\(A-B-C-D-E\)ですからね!

では、ここから円順列の計算方法を解説しますね!

円順列の計算方法

円順列は3つの手順を踏めば完了します。

  1. 普通の順列を計算
  2. 被ってるパターンを確認
  3. 計算する

です。

理系博士
理系博士

では、例題を解いてみましょう!

例題(円順列)5人(Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさん)を丸テーブルに座らせるとき、その座り方は何通りあるか。

 

A. 24通り

普通の順列を計算する。

まずは、円順列ではない普通の順列を計算しましょう。丸テーブルに座らせるのではなく、1列に並べる場合です。

これはさっきやりましたね。

$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ P }_5&=&5!\\&=&5\times4\times3\times2\times1\\&=&120\end{eqnarray}$$

120通りあることが分かりました。

 

しかし、この120の中には円順列では同じパターンになっているものがあります。つまり、被りがあるんですね。

120被りのパターン数円順列のパターン数

そこで、第2ステップで被りのパターン数を確認します!

被ってるパターンを確認

被ってるパターン数の確認と言っても、全部探すのはとても大変です。

なので、\(A-B-C-D-E\)で考えてみましょう。

被りのパターンは全部で5つあります!

5人なので、Aさんの場所(スタート地点)が5つあります。なので5パターン被ってるんですね。

逆に言うと、5パターンにつき1パターンの円順列があることになります。

つまり、120を5で割れば答えになります。

理系博士
理系博士

じゃあ最後に答えを出しましょう!

計算する

1.普通の順列を計算する

$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ P }_5&=&5!\\&=&5\times4\times3\times2\times1\\&=&120\end{eqnarray}$$

2.被りパターンを確認する

5人いるから5パターンにつき1パターンの円順列ができる!

 

3.計算する

120を5で割る。

$$120\div5=24$$

円順列の例題

例題6人が丸テーブルに座るとき、座り方は何通りあるか。

 

 

A. 120通り

解説:
1. 普通(1列)の順列を計算する
$$\begin{eqnarray} {}_6 \mathrm{ P }_6&=&6!\\&=&6\times5\times4\times3\times2\times1\\&=&720\end{eqnarray}$$

2. 被りのパターン数を確認

6人いるから、6パターンにつき円順列が1パターン!

3.計算する

$$720\div6=120$$

 

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