【階乗】について例題とともに解説【0の階乗が1になる理由も】

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nの階乗$$n!=n \times(n-1)\times\dots\times2\times1$$

このように1からnまでの自然数の積をnの階乗と呼びます。

これが\(5!\)なら5の階乗と言います。

$$5!=5 \times4\times3\times2\times1=120$$

となります。ここからは例題を通して理解を深めていきましょう!

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例題(4問)

次の値を求めよ。

(1)\(4!\)

答え:\(24\)

$$4!=4\times3\times2\times1=24$$

(2)\(6!\)

答え:\(720\)

$$6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=24$$

(3)$$\frac{9!}{7!}$$


答え:\(72\)
$$\begin{eqnarray}
\frac{9!}{7!}&=&\frac{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}\\&=&9\times8\\&=&72\end{eqnarray}$$

(4)$$\frac{n!}{(n-1)!}$$

答え:\(n\)

$$\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n\times\dots\times1}{(n-1)\times\dots\times1}=n$$

なんとなく階乗について分かってきましたか?

ここで0の階乗を考えてみましょう。直観的には

$$0!=0$$

のような気がしますが実は答えは1になります。なぜ1になるのか解説します。

\(0!=1\)について

なぜ\(0!=1\)となるのか・・・

それは、「そう定義した方が色々便利だったから」です!

トムくん
トムくん

(。´・ω・)ん???

例えばさっきの(4)の例題。\(\frac{n!}{(n-1)!}\)の答えはnです。つまり、

「n=3なら答えは3」

「n=100なら答えは100」になります。

では、\(n=1\)ならどうでしょう。そりゃ答えは1ですよね。

 

でも、もし仮に\(0!=0\)だったら

\(\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{1!}{0!}=\frac{1}{0}\)

となってしまうので、(※\(n\neq1\)とする)みたいな注意書きが必要になります。この他にも\(0!=0\)だと色々な注意書きが必要になるのです。

だから昔の偉い数学者は「\(0!=1\)にしようぜ!楽だし^^」と決めたんですね。多分・・・

さいごに

階乗について解説しました。結構簡単だったんじゃないかと思います。

くりまろ
くりまろ

少し掛け算がめんどくさいけどねー

階乗は組み合わせや順列で使うことになるので、今完全に覚えていなくても自然と身につく技術ですよ!

コメント