【組み合わせの公式】Cについて例題を使った分かりやすい解説

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組み合わせの公式$${}_n \mathrm{ C }_k=\frac{{}_n \mathrm{ P }_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

ここでは、組み合わせの公式について解説します。

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\({}_n \mathrm{ C }_k\)の意味

まずは、\({}_n \mathrm{ C }_k\)の意味からです。これはn個の中からk個を選ぶ組み合わせの数を表しています。

良く分かりませんよね。具体的な例題を見てみましょう。

例題\(a, b, c, d, e\)の中から3つのアルファベットを選ぶとき、何通りの選び方があるか答えよ。

って問題があったとします。組み合わせの公式を知らない場合は、総当たりで考えるしかありません!

\(a, b, c\\a, b, d\\a, b, e\\\dots\)

といった具合ですね。

 

しかし組み合わせの公式を知っていれば超簡単です。

5個(n=5)の中から3個(k=3)のアルファベットを選ぶ組み合わせの数なので、こんな式になります。

$${}_n \mathrm{ C }_k={}_5 \mathrm{ C }_3=10$$

つまり答えは10通りです。

トムくん
トムくん

何で\({}_n \mathrm{ C }_k\)=10になるの?

じゃあ使い方が分かったところで\(C\)の計算方法を解説します。

\({}_n \mathrm{ C }_k\)の計算方法

さっきの例題で使った\({}_5 \mathrm{ C }_3\)で解説しましょう。公式に当てはめるとこんな感じになります。

組み合わせの公式$${}_n \mathrm{ C }_k=\frac{{}_n \mathrm{ P }_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

$$\begin{eqnarray} {}_5 \mathrm{ C }_3 &=& \frac{{}_5 \mathrm{ P }_3}{3!}\\ &=& \frac{5!}{(5-3)!3!} \\ &=& \frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}\\&=&10 \end{eqnarray}$$

意外とややこしくないですか?でも簡単に覚える方法もありますよ!まあこれでも使いこなせるわ!って方はこのまま進んでくださいね。

簡単に覚える方法

例えば\({}_5 \mathrm{ C }_3\)なら

$${}_5 \mathrm{ C }_3=\frac{5から3つの掛け算}{3の階乗}$$

とすることができます。つまり、こう。

$${}_5 \mathrm{ C }_3=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}$$

これが\({}_6 \mathrm{ C }_2\)なら

$${}_6 \mathrm{ C }_2=\frac{6から2つの掛け算}{2の階乗}$$

となります。つまり、こうなります。

$${}_6 \mathrm{ C }_2=\frac{6\times5}{2!}$$

何となく理解できましたか?練習問題でもっと理解を深めてくださいね!

組み合わせの公式|練習問題

(1)\({}_6 \mathrm{ C }_3\)

答え:\(20\)

解説:$${}_6 \mathrm{ C }_3=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20$$

(2)\({}_{10} \mathrm{ C }_2\)

答え:\(45\)

解説:$${}_{10} \mathrm{ C }_2=\frac{10\times9}{2\times1}=20$$

(3)\({}_n \mathrm{ C }_2\)

答え:$$\frac{n(n-1)}{2}$$

解説:$${}_n \mathrm{ C }_2=\frac{n\times(n-1)}{2\times1}=\frac{n(n-1)}{2}$$

(4)1から10までの自然数の中から3個を選ぶとき、

組み合わせの総数はいくつか。

答え:\(120\)

解説:10個から3個を選ぶので\({}_{10} \mathrm{ C }_3\)
$$\({}_{10} \mathrm{ C }_3\)=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$$

さいごに

組み合わせの公式について解説しました。教科書では無機質に書いてあることが多いこの公式ですが、理解できれば場合の数と確率ではとても心強い公式です。

以下にポイントをまとめます。

 

POINT

  • 組み合わせの公式は組み合わせの総数を表す
  • n個の中からk個を選ぶは\({}_n \mathrm{ C }_k\)
  • 計算は(覚えれば)超簡単

 

です。

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