【二項定理】良質な例題と定理の証明【しっかり理解できます】

場合の数と確率
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ここでは二項定理の意味例題証明の3点を解説します。

二項定理\(\begin{eqnarray}(a+b)^n\\={}_n \mathrm{ C }_0 a^n &+& {}_{n} \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2}b^2 \\ &+& \dots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}ab^{n-1}+{}_n \mathrm{ C }_nb^n\end{eqnarray}\)

式で書くとすごく複雑に見えますが、数列っぽく書くとこうなります。

二項定理(数列Ver.)\(\begin{eqnarray}
(a+b)^n=\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k a^k b^{n-k}
\end{eqnarray}\)
トムくん
トムくん

どっちもかなり複雑だよ!笑

くりまろ
くりまろ

じゃあ、まずはこの式の意味を理解しよう!

 

※二項定理は組み合わせの公式(Cの計算)必須です。分からない方は今のうちに復習しておきましょう!

【組み合わせの公式】Cについて例題を使った分かりやすい解説

 

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二項定理の式の意味

では例として\((a+b)^4\)について考えてみましょう。

$$(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$$

ですね。この式を展開しなさいと言われるとちょっとめんどくさいですよね。そんな時に使えるのがこの二項定理になります。

\((a+b)^4\)なので、二項定理のnには4が入ります。

二項定理\(\begin{eqnarray}(a+b)^n\\={}_n \mathrm{ C }_0 a^n &+& {}_{n} \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2}b^2 \\ &+& \dots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}ab^{n-1}+{}_n \mathrm{ C }_nb^n\end{eqnarray}\)

二項定理(n=4)\(\begin{eqnarray}(a+b)^4\\={}_4 \mathrm{ C }_0 a^4 &+& {}_{4} \mathrm{ C }_1 a^{4-1}b + {}_4 \mathrm{ C }_2 a^{4-2}b^2 \\ &+& {}_4 \mathrm{ C }_{4-1}ab^{4-1}+{}_4 \mathrm{ C }_4b^4\end{eqnarray}\)

Cについて組み合わせの公式を使って計算すると

\({}_4 \mathrm{ C }_0={}_4 \mathrm{ C }_4=1 \\
{}_4 \mathrm{ C }_1={}_4 \mathrm{ C }_3=4 \\
{}_4 \mathrm{ C }_2=6\)

これらのCの値を代入すると・・・

$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

 

では、少し練習してみましょう。

良質な例題(3問)

(1)\((a+b)^5\)の\(a^3b^2\)の係数は何?

ヒント係数は\({}_5 \mathrm{ C }_2\)

Cの左は\((a+b)^5\)の\(5\)、右は\(a^3b^2\)の\(b^2\)の\(2\)が入ってるよ!

答え:\(10\)
解説:\(a^3b^2\)なので係数は\({}_5 \mathrm{ C }_2\)
$${}_5 \mathrm{ C }_2=\frac{5 \times 4}{2!}=10$$

(2)\((a+2b)^5\)の\(a^2b^3\)の係数は何?

ヒント\(2b=B\)と置いてみよう!

\({}_5 \mathrm{ C }_□\)になるよ!

答え:\(80\)
解説:\(2b\)だとややこしいので、\(2b=B\)と置きます。
\((a+B)^5\)で\(a^2B^3\)の係数は\({}_5 \mathrm{ C }_3\)
$${}_5 \mathrm{ C }_2=\frac{5 \times 4}{2!}=10$$
つまり、\(10a^2B^3\)だと分かります。ここで\(B=2b\)を代入します。
$$10a^2B^3=10a^2(2b)^3=10a^2\times(8b^3)=80a^2b^3$$になります。よって答えは\(80\)です。
(3)\((a+b)^8\)の\(a^5b^4\)の係数は何?

答え:\(0\)
解説:少しイジワルな問題ですが、\((a+b)^8\)で\(n=8\)です。
しかし、\(a^5b^4\)の文字の数は合計9個です。
なので、\((a+b)^8\)を展開しても\(a^5b^4\)は出てきません。
よって答えは\(0\)となります。
少しは二項定理が身近になったことを願いつつ、証明に移りましょう!

二項定理の証明

いきなり文字で証明すると難しいので、具体的な数字を入れて計算してみます。
$$(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$$
を使いましょう。ここで\(a^4とb^4\)は4か所すべてから\(a\)もしくは\(b\)を取るので、1回しか現れません。

 

\(a^3b\)について考えてみましょう。

\(a^3b\)になる組み合わせは計4つあります。
\(b \times a \times a \times a \\ a \times b \times a \times a \\ a \times a \times b \times a \\ a \times a \times a \times b\)
の4つです。
これって言い換えると
「4つのうち1つだけbになる並べ方は何通りあるか。」
になります。
つまり、$${}_4 \mathrm{ C }_1=4$$
同様に、\(a^2b^2\)は
「4つのうち2つがbになる並べ方は何通りあるか。」
$${}_4 \mathrm{ C }_2=6$$
\(ab^3\)は
「4つのうち3つがbになる並べ方は何通りあるか。」
$${}_4 \mathrm{ C }_3=4$$
となります。
これを文字で表すと
\((a+b)^n\)で、\(a^{n-k}b^k\)の項の係数は\({}_n \mathrm{ C }_k\)となって二項定理になるのです。

二項定理\(\begin{eqnarray}(a+b)^n\\={}_n \mathrm{ C }_0 a^n &+& {}_{n} \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2}b^2 \\ &+& \dots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}ab^{n-1}+{}_n \mathrm{ C }_nb^n\end{eqnarray}\)

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