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三角関数表のコサインの表におけるcos309°を求める方法

それでは、cos 309° = 0.62932…を計算する手法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を説明していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos309°の求める方法説明です。

$$\cos 309°=0.62932…$$

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10桁のcos 309°を確認

初めに、cos 309°を10桁表してみましょう!$$\cos 309° = 0.629320391 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos309°の値を解く

三角関数表を活用せずにcos309°の値を求めるやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して309°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos309°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 309°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.393067…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 309°\)を求められます。

$$\cos 309° = 0.62932…$$

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