逆三角関数(アークコサイン)の導関数(微分)を紐解く!

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\(Cos^{-1}x\)(アークコサイン)の微分$$(Cos^{-1}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

逆三角関数であるアークコサインですが、これを微分するには少しテクニックがいります。そこでこの解説では、簡単にできるアークコサインの微分の方法を紹介します!

くりまろ
くりまろ

この微分には逆関数の微分法を使うよ!

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】

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 逆三角関数(アークコサイン)の導関数(微分)

$$y=Cos^{-1}x$$

とすると、これは逆三角関数なので

$$x=\cos y \dots(1)$$

と同じ意味になります。ここで(1)式の両辺をxで微分します。

$$\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\cos y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\cos y\frac{dy}{dx}(合成関数の微分法)\\
1 &=& -\sin y \frac{dy}{dx}\\
\end{eqnarray}$$

となります。つまり

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y} (※ただし\sin y \neq 0)$$

となります。これで微分できたように見えますが、\(\sin y\)には\(y\)が使われています。この\(y\)を無くさないと微分できたとは言えません。そこで、\(\sin y\)変形して\(x\)の関数にします。

\(\sin y\)を変形する

\(\sin y\)を変形するために、少しだけテクニックを使います。

具体的にはこの公式。この公式を\(\sin y=\)の形にしてやると・・・

$$\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}$$

さらに最初に示した通り、この問題は逆三角関数なので

$$y=Sin^{-1}x \leftrightarrow x=\sin y$$

この式から\(\sin y\)と\(x\)が等しいことが分かりますね。ここまで出てきた式を使ってまとめると・・・

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& -\frac{1}{\sin y} \\
&=& -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 y}}\\
&=& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

ようやく微分完了です!

\(Cos^{-1}x\)(アークコサイン)の微分$$(Cos^{-1}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

トムくん
トムくん

微分完了!

最初に逆関数の微分法を使うといいましたが、その方法でもやってみましょう!

逆三角関数の微分法でやってみる

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】

ここで\(g(x)=Cos^{-1}x\)、\(f(y)=\cos y)\)です!

$$y=Cos^{-1} \leftrightarrow x=\cos y$$
$$y=g(x) \leftrightarrow x=f(y)$$

式を微分して当てはめると・・・

$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)}=-\frac{1}{\sin y}$$

となります。あとは\(\sin y\)を同じように変形すればいいだけです。

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& -\frac{1}{\sin y} \\
&=& -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 y}}\\
&=& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

この方法であれば、合成関数の微分法なんかを使わなくてもできるので楽ですね!

さいごに

3種類ある逆三角関数ですが、その他の微分のも求め方はほとんど同じです。求め方は大きく2種類あります。

  • 合成関数の微分法を使う
  • 逆関数の微分法を使う

です。

 

分かってしまえば意外と簡単なので、今のうちに覚えておきましょう!

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