逆三角関数(アークサイン)の導関数(微分)を紐解く!

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\(Sin^{-1}x\)(アークサイン)の微分$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

逆三角関数であるアークサインですが、これを微分するのは少しテクニックがいります。そこでこの解説では、簡単にできるアークサインの微分の方法を紹介します!

くりまろ
くりまろ

この微分には逆関数の微分法を使うよ!

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】

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 逆三角関数(アークサイン)の導関数(微分)

$$y=Sin^{-1}x$$

とすると、これは逆三角関数なので

$$x=\sin y \dots(1)$$

と同じ意味になります。ここで(1)式の両辺をxで微分します。

$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\sin y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\sin y\frac{dy}{dx}(合成関数の微分法)\\
1 &=& \cos y \frac{dy}{dx}\\
\end{eqnarray}$$

となります。つまり

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y} (※ただし\cos y \neq 0)$$

となります。これで微分完了に見えますが、\(\cos y\)には\(y\)が使われています。このままでは微分完了とは言えません。そこで、変形して\(x\)の関数にします。

\(\cos y\)を変形する

\(\cos y\)を変形するために、少しだけテクニックを使います。

具体的にはこの公式。この公式を\(\cos y=\)の形にしてやると・・・

$$\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}$$

さらに最初に示した通り、

$$y=Sin^{-1}x \leftrightarrow x=\sin y$$

なので、\(\sin y\)に\(x\)を代入しちゃいます!ここで今までの変形をまとめると・・・

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

ようやく微分完了です!

\(Sin^{-1}x\)(アークサイン)の微分$$(Sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

トムくん
トムくん

微分完了!

最初に逆関数の微分法を使うといいましたが、その方法でもやってみましょう!

逆三角関数の微分法でやってみる

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
逆関数の微分について詳しい解説!【逆関数の例も記載】

ここで\(g(x)=Sin^{-1}x\)、\(f(y)=\sin y\)です!

POINT$$y=Sin^{-1}x \leftrightarrow x=\sin y$$
$$y=g(x) \leftrightarrow x=f(y)$$

POINTを使って計算すると

$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos y}$$

ってことです。あとは\(\cos y\)を同じように変形すればいいだけです。

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

この方法であれば、合成関数の微分法なんかを使わなくてもできるので楽ですね!

さいごに

3種類ある逆三角関数ですが、その他の微分のも求め方はほとんど同じです。求め方は大きく2種類あります。

  • 合成関数の微分法を使う
  • 逆関数の微分法を使う

です。

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