【微分積分】って何?に限りなく簡単に答えてみた【数式なし】

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微分積分と言えば高校数学の大敵として有名です。

これで数学が嫌いになる人も多いんじゃないでしょうか。それは難しい数式(理解すれば簡単!)を良く分からず計算させられるからです。

ここでは、そんな微分積分も理解すれば楽しいよ!実は簡単なんだよ!って説明をしたいと思います。
微分積分のザックリしたイメージを説明したいので、数式はなるべく使いません。もう少し踏み込んだ(数式を使った)説明は別ページで紹介していますよ。

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微分積分ってそもそも何してるの?

微分と積分って一体何をしているのか。ザックリしたイメージを伝えると

微分:細部まで観察する感じ。顕微鏡で覗くイメージ!
積分:全体を観察する感じ。細かくして組み上げるイメージ!

トムくん
トムくん

よく分からない…

くりまろ
くりまろ

今はとりあえず何となくのイメージを持っておいてね!

微分と積分についてもう少し掘り下げます。まずは微分から。

微分は【瞬間】を捉える

微分が何の役に立つのか。【瞬間】を捉えることができるのです。
よく分からないですよね。

例えば100mを10秒で走る犬がいたとしますね。

この犬の速さを知りたい!と思っても、今ある情報は[100mを10秒で走った]だけです。ここから犬の速さを計算しても、【平均】1秒で10m走ったことしか知ることができません。

では、【50m地点での速度】を知りたいときはどうしたらいいでしょうか。今のままでは情報が足りません。少し条件を変えましょう。

10m毎に何秒かかったか調べてみる

次に10m毎に何秒かかったか調べたとしましょう。【50m地点での速度】を知りたいので40mから50mに注目します。

この10mを0.5秒で走っていたので、速度は20m/sです。

でもこれは正確には【50m地点での速度】ではありませんよね。40m-50mの間の平均の速度になります。そこでもっと短く調べる必要があります。

もっと細かく分けていく

では、50m地点での【瞬間】の速度を求めるにはどうしたらいいでしょうか。

トムくん
トムくん

んー、49mと51mでのタイムを測る!

くりまろ
くりまろ

おしい!それだと2m何秒で走ったかになるよね?

本当に【瞬間】の速度を求めるには、1m毎、0.1m毎、0.0000…1m毎の結果が必要です。

 

つまり、49.9999…mから50.000…1mのタイムを測る必要があります。

トムくん
トムくん

えー!そんな事できないよ!

くりまろ
くりまろ

うん。現実的じゃないよね。

そこで【微分】の登場です!【微分】という計算方法はこの2点の差を限りなく0に近づける道具なのです。イメージは掴めたでしょうか。

 

微分のまとめ

ここでは犬の速度を例に挙げたので【瞬間】という言葉を使いました。しかし、実際は【細部】を捉えるの方が正確かもしれません。

微分は、現実世界(物理学)ではもっといろいろな場面で使われています。どこに使われているか意識しながら勉強するのもいいかもしれません!

では積分に移りましょう。

積分は【全体】を捉える

積分は【全体】を捉えるために使います。微分は【細部】、積分は【全体】とイメージしましょう。例えば、円の面積を考えてみます。円の面積は$$S=\pi r^2$$って習いましたよね。もしくは$$半径×半径×3.14$$の方が耳に馴染んでいる人もいるでしょう。

でも、少し考えてみてください。円の面積ってどうやって求めたんでしょうか?

実は積分を使って求めています!

最初の説明を思い出してください。積分は細かくして作り直すイメージでしたね。これを円にも当てはめて、面積を求めることができます。

円を細かくしてみよう!

積分】は細かくして作り直すイメージです。まずは、円を細かくしてみましょう。無闇に細かくすると作り直すのが大変なので、なるべくキレイに!

トムくん
トムくん

円をキレイに細くする…ケーキみたいに切ればいいかな?

くりまろ
くりまろ

それが一番簡単だね!

ケーキを切って並べなおす!

ケーキを4等分や8等分すると扇形になります。

しかし、とにかく細かく細かく切り分けていくとほとんど三角形になります。ものすごく細い三角形です。これを交互に並べていくと…

長方形になります。このように細かくして並べなおすことで、全体像を把握できるのが積分だと思っておきましょう。ここで、横の辺は円周の半分なので\(\pi r\)、縦の辺は半径なので\(r\)。つまり面積は\(\pi r^2\)です。

これが【積分】です。細かく分けて組み上げ直す。そして【全体】を捉える。【積分】の感覚を掴めたんじゃないでしょうか。

【微分】と【積分】の共通点は、『現実じゃ取得不可能な細部や全体の情報を捉える』点です。まあ、数学は全部そうなんですけどね 笑

さいごに

今回はなるべく数式を使わずに【微分】と【積分】のイメージを解説しました。微分積分を学ぶとき、実際のイメージが持てるかどうか、この違いはとても大きいです。

まとめましょう。

POINT微分:【細部】を捉えるために分解しまくる!
積分:【全体】を捉えるために細かくして、組み上げる!

です。

 

また【微分】と【積分】は真逆の関係にあります。頭の片隅に置いておくといいでしょう。

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