今回は\(\displaystyle \frac{1}{\sin x}\)を微分していきます。
具体的には下記の微分の証明です。
$$\left( \displaystyle \frac{1}{\sin x}\right)’=-\displaystyle \frac{\cos x}{\sin^2 x}$$
微分には商の微分公式を使います。
また定義に当てはめた微分も紹介します。
最初に微分の計算を紹介して、後半で商の微分公式やそのほかの公式を解説していきますね。
1/\(\sin x\)の微分
では商の微分公式を使った微分からやっていきましょう。
微分１｜商の微分公式
商の微分公式は下記の式で表される。
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
ここで\(\displaystyle \frac{1}{\sin x}\)の場合、
\(f(x)=1,\ f’(x)=0\)であるから下記の通り整理できる。
$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)’=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}$$
\(g(x)=\sin x,\ g'(x)=\cos x\)を代入すると、
$$\left( \displaystyle \frac{1}{\sin x}\right)’=-\displaystyle \frac{\cos x}{\sin^2 x}$$
となる。
商の微分公式は非常に重要ですよ！
次は定義通り計算してみましょう。
微分２｜定義通り計算
微分の定義は下記の通りである。
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
ここで\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sin x}\)なので、代入することで下記の式になる。
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\sin (x+h)}-\displaystyle \frac{1}{\sin x}}{h}$$
加法定理より、
$$\sin (x+h)=\sin x \cos h+\cos x \sin h$$
を利用すると下記の通り微分できる。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\sin (x+h)}-\displaystyle \frac{1}{\sin x}}{h}\\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\sin x-\sin (x+h)}{h \sin (x+h)\sin x}\\ \\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\sin x-(\sin x \cos h+\cos x \sin h)}{h \sin (x+h)\sin x} \\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \left( \displaystyle \frac{\sin x(1-\cos h)}{h \sin (x+h)\sin x}-\displaystyle \frac{\cos x \sin h}{h \sin (x+h)\sin x}\right)
\end{eqnarray}
\(h \to 0\) で \(\cos h \to 1,\ \displaystyle \frac{\sin h}{h}\to 1\)より、(解説は後述)
\begin{eqnarray}
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \left( \displaystyle \frac{\sin x(1-\cos h)}{h \sin (x+h)\sin x}-\displaystyle \frac{\sin h}{h }\displaystyle \frac{\cos x}{\sin (x+h)\sin x}\right) \\ \\
&=& \left( 0-1\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x\sin x}\right)\\\\
&=&-\displaystyle \frac{\cos x}{\sin^2 x}\end{eqnarray}
微分は以上で終了です！
定義通り微分するより、公式を使った方が簡単に微分できますね！
公式の解説
ここからは微分に使った公式などを解説していきます。
解説するのは下記の４つです。
（下記リンクより該当箇所まで飛べます。）
解説１｜商の微分公式
商の微分公式は下記の式で表されます。
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
また、\(\displaystyle \frac{1}{g(x)}\)を微分する場合は、下記の通り整理されます。
$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)’=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}$$
上記公式の証明や、使い方の詳しい解説は下記の記事を参考にしてください！
４ステップで使える解説にしています。
>>商の微分公式<<
解説２｜\((\sin x)’=\cos x\)
$$(\sin x)’=\cos x$$
上記の微分公式は\(\sin x\)を微分したら\(\cos x\)になる単純な計算です。
しかし、証明しようとすると実は結構大変です。
証明まで知りたい方は下記の解説記事を参考にしてください。
図を使ってかなりわかりやすく解説していますよ！
>>\(\sin x\)の微分を証明<<
解説３｜加法定理
加法定理とは下記の３つの公式のことを指します。
\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}
下記の記事では、加法定理の証明と、加法定理を応用して作られた４つの公式を解説しています。
三角関数はもちろん、微分積分、物理の力学でも登場する超重要公式なので、よかったら参考にしてください！
>>加法定理とその応用<<
解説４｜\(h \to 0\) で \(\displaystyle \frac{\sin h}{h}\to 1\)
\(h \to 0\) で \(\displaystyle \frac{\sin h}{h}\to 1\)は\(\sin x\)を微分するときに登場する有名な極限公式です。
簡単に説明します。
上記の図の不等式を\(\sin \theta\)で割って、逆数を取ると下記の式を得ることができます。
$$\cos\theta<\displaystyle \frac{\sin\theta}{\theta}<1$$
ここで\(\theta \to 0\)とすると、\(\cos \theta\to 1\)であるから、挟み撃ちの定理より、
\(\displaystyle \frac{\sin\theta}{\theta}\to 1\)となります。
もっと詳しい解説は下記の\(\sin x\)の微分で紹介しています！
よかったら参考にしてください。
>>\(\sin x\)の微分<<
\(\displaystyle \frac{1}{\sin x}\)の微分は以上です！
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