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三角関数表のコサインの表におけるcos307°を簡単導出!

この記事では、cos 307° = 0.601815…を電卓で計算する仕方について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の算出方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、cos307°の算出方法紹介です。

$$\cos 307°=0.601815…$$

目次

cos 307° を10桁調べる

初めに、cos 307°を10桁書いてみましょう!$$\cos 307° = 0.6018150231 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos307°の値を解く

三角関数表を使わずにcos307°の値を解くやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って307°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、導出が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos307°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 307°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.35816…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 307°\)を求められます。

$$\cos 307° = 0.601815…$$

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