円周角の定理の証明

この記事では円周角の定理(下記の2つ)を証明する

  1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
  2. ある弧に対する円周角は全て等しい

1.『ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である』について証明するために、下記の3パターンを証明する。

  1. 円周角の中に円の中心がある場合
  2. 円周角の外に円の中心がある場合
  3. 円周角を作る線が円の中心を通る場合

図にすると以下の3つである。

2. 『ある弧に対する円周角は全て等しい』は1.『ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である』を使って証明する

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円周角=中心角÷2の証明

円周角の内側に円の中心がある場合

最初に円周角の中に円の中心がある場合を証明する。

ここで同じ色の印は同じ角度を表している。
また、2つあるのは倍の大きさを表す。

例えば∠DOC∠DBCの2倍である。

では証明していく。


点Bから点Oを通る線を引くと、△の印がついた3本の線は円の半径なので、3本とも同じ長さとなる。

$$AO=BO=CO$$

つまり、\(△BOC\)と\(△AOB\)はどちらも二等辺三角形である。
\(△BOC\)に注目すると、二等辺三角形の底角は等しいため、の角度は等しくなる。
$$\(∠OBC=∠BCO\)$$

三角形の内角の和は180度なので、\(∠BOC\)の大きさは(\(180\)–●-●)度である。

点B, O, Dは直線上にあるため三角形の外角より、\(∠COD\)の角度は()度である。

同様に\(∠AOD\)は()度となる。

ACの円周角\(∠ABC\)は()度であり、中心角\(∠AOC\)は()=2()度である。

以上より、\(∠ABC=∠AOC\div2\)となる。

$$∴\ 円周角=中心角÷2$$


証明完了です。

円周角の外側に円の中心がある場合

次に円周角の外側に円の中心がある場合を証明する。

点BからOを通る直線を引いて円周との交点Dをとする。
\(△BOC\)に注目すると、辺BOと辺OCはどちらも半径で長さが等しいため、△BOCは二等辺三角形であるとわかる。

\(∠OBC=□\)とすると\(∠OCB=□\)であり、三角形の外角なので\(∠DOC=◻︎+◻︎\)となる。

次に\(△AOB\)に注目する。
\(△BOC\)と同様に\(∠OAB=●\)とすると\(∠AOD=●+●\)となる。

  • 円周角\(=∠ABC=●-◻︎\)
  • 中心角\(=∠AOC=●+●-◻︎+◻︎=2(●-◻︎)\)

以上より、\(∠ABC=∠AOC\div2\)となる。

$$∴\ 円周角=中心角÷2$$

1本の線が円の中心を通る場合

\(△OCB\)は二等辺三角形なので、\(∠OCB=∠OBC\)()である。

三角形の外角より、\(∠AOB=●+\)となる。

以上より\(∠ACB=∠AOB\div2\)となる。

$$∴\ 円周角=中心角÷2$$

ある弧に対する円周角は全て等しい の証明

この定理を証明する。

本証明では\(円周角=中心角÷2\)の公式を利用する(証明済みのため)

この図の円周角2つはともに同じ中心角をもっている。
中心角は\(円周角=中心角÷2\)の関係があるため、同じ弧の円周角は等しいと言える。

参考記事

円周角の定理の参考記事を紹介します。

参考動画

円周角の定理に関する参考になる動画があったのでこちらも紹介します。

証明
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