11の倍数の判定法の証明

11の倍数の判定法の証明です。

ある数\(n\)を一の位から見て奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和との差が\(11\)の倍数であれば、\(n\)は11の倍数である。

【例】\(693726\rightarrow(9+7+6)-(6+3+2)=11\)
\(11\)は\(11\)の倍数なので、\(693726\)も\(11\)の倍数である。

\(693726\div11=63066\)


11の倍数の判定法について証明する。

簡単のために例題を使って考える。
\(693726\)を\(n\)とする。
ここで\(a=6, b=9,c=3,d=7,e=2,f=6\)とするる。

$$n=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f$$

ここで、

\begin{eqnarray}
100000&=&100001=11\times9091\\
10000-1&=&9999=11\times909\\
1000+1&=&1001=11\times91\\
100-1&=&99=11\times 9\\
10+1&=&11
\end{eqnarray}

なので、\((b+d+f)-(a+c+e)\)が\(11\)の倍数であれば、\(693726\)は\(11\)の倍数である。

以上より、ある数\(n\)を一の位から見て奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和との差が\(11\)の倍数であれば、\(n\)は11の倍数である。

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2-9の倍数の判定法(参考記事)

倍数判定法の参考動画

倍数の判定法に関するわかりやすい動画がありましたので紹介いたします。

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