9の倍数の判定法の証明

9の倍数の判定法の証明です。

9の倍数の判定法について証明する。

簡単のために5桁の数で考える。
5桁の数を\(n\)とすると、\(n\)は下記の式で表される。

$$n=10000A+1000B+100C+10D+E$$

(Aは\(1-9\)の値が、 B, C, D, Eは\(0-9\)の値が入る。)

ここで、
\begin{eqnarray}
n&=&10000A+1000B+100C+10D+E\\
&=&9999A+A+999B+B+99C+C+9D+D+E\\
&=&9(1111A+111B+11C+D)+(A+B+C+D+E)
\end{eqnarray}

とできる。
つまり各位の数の和\((A+B+C+D+E)\)が\(9\)の倍数であれば、\(n\)は\(9\)の倍数と言える。

以上より、ある数\(n\)の各位の数の和が\(9\)の倍数であれば、\(n\)は9の倍数である。

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