7の倍数の判定法の証明

7の倍数の判定法の証明です。

ある数\(n\)の一の位から左に3桁ごとに区切り、奇数番目の区画にある3桁以下の数の和と、偶数番目の区画にある3桁以下の数の和との差が\(7\)の倍数であれば、\(n\)は7の倍数である。

【例】\(16336978\)
一の位から左に3桁ごとに区切ると、\(978,\ 336,\ 16\)となる。
\((978+16)-336=658,\ 658\div7=94\)なので、\(16336978\)は\(7\)の倍数である。

\(16336978\div7=2333854\)

7の倍数の判定法について証明する。

【例】の\(16336978\)を考える。
一の位から左に3桁ごとに区切ると、\(978,\ 336,\ 16\)となる。
ここで、\(c=978,\ b=336,\ a=16\)とする。

\begin{eqnarray} n&=&16336978\\
&=&a\times100000+b\times1000+c\times1\\
&=&a(100000-1)+b(1000+1)+a-b+c\\end{eqnarray}

ここで、
\(1000000-1=999999=7\times142857\)であり、
\(1000+1=1001=7\times143\)である。

つまり、\(a-b+c\)が\(7\)の倍数であれば\(n\)は\(7\)の倍数である。

以上より、ある数\(n\)の一の位から左に3桁ごとに区切り、奇数番目の区画にある3桁以下の数の和と、偶数番目の区画にある3桁以下の数の和との差が\(7\)の倍数であれば、\(n\)は7の倍数である。

(\(n\)の桁数によっては、\(7\)の倍数の判定法を使うより、実際に\(7\)で割ってみるほうが早い場合もある。)

解説する内容

2-9の倍数の判定法（参考記事）

倍数の判定法に関するわかりやすい動画がありましたので紹介いたします。