三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の証明 (求め方)

三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の証明をします。

三平方の定理とは、直角三角形ABCがあったときに、\(a^2+b^2=c^2\)が成り立つ定理のこと。

三平方の定理は証明の方法が\(100\)種類以上あるので、今回は有名な方法で証明します。

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三平方の定理の証明

三平方の定理の求め方
三平方の定理の求め方

上記の図のように、直角三角形4つと1辺の長さが\(c\)の小さい正方形を使って、1辺の長さが\(a+b\)の正方形を作る。

ここで、2通りの方法で面積を求める。

  1. 1辺が\(a+b\)の正方形の面積
  2. 1辺が\(c\)の正方形と4つの直角三角形

面積1は正方形の面積の求め方より、
\((a+b)\times(a+b)=a^2+2ab+b^2\)である。

面積2は正方形の面積と4つの直角三角形の面積の和なので、
\(c\times c+\displaystyle \frac{1}{2}ab\times4=c^2+2ab\)である。

面積1と面積2は等しいので、下記の式が成り立つ。

$$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$

以上より、三平方の定理(\(a^2+b^2=c^2\))が成り立つ。

三平方の定理の参考記事

三平方の定理は数学の様々な場面で使用する。
ここではいくつか使用する例を紹介する。

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三平方の定理の参考動画

非常におもしろい三平方の定理の動画がありましたので、紹介させて頂きます。

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