接弦定理の証明

下記に示す接弦定理の証明をします。

接弦定理

三角形とその三角形の外接円があるとき、円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい

接弦定理とは

例えば上の図で言うと、円の接線と弦が作る角\(∠SAC\)とその弦に対する円周角\(∠ABC\)は等しくなります。(\(∠SAC=∠ABC\))
同様に\(∠TAB=∠ACB\)も成り立ちます。

接弦定理の証明には下記の3つを証明する必要があります。

  1. \(∠SAC\)が直角(90°)の場合
  2. \(∠SAC\)が鋭角(90°以下)の場合
  3. \(∠SAC\)が鈍角(90°以上)の場合

1つずつ証明していきます。

スポンサーリンク

接弦定理の証明

∠SACが直角(90°)の場合

接弦定理証明_直角

直線ACは円の中心(原点)を通っているため、弧ACの円周角\(∠ABC=90°\)である。
また、直線STは円の接戦であり、点Aは円と接線の接点なので、\(∠SAC=90°\)。

以上より、\(∠ABC=∠SAC=90°\)

$$∴\ ∠SAC=∠ABC$$

∠SACが鋭角(90°以下)の場合

接弦定理証明_鋭角

円Oと円の接線STの接点Aより、円の中心Oを通る補助線DAを引く。
線ADは中心から接点に引いた線であるから、\(∠DAT=90°\)となる。

円周角の定理
円周角の定理

そして円の直径の円周角は\(90°\)であるから、\(∠ABD=90°\)。
さらに同じ弧の長さの円周角は、円周角の定理より角度も同じになるため、\(∠ADB=∠ACB\)である。

三角形の内角の和は180°なので、
\(∠ADB(◇)+∠DAB(〇)+∠ABD(90°)=180°\)
である。

つまり
\(∠ACB(◇)=∠ADB(◇)=90°-∠DAB(〇)\cdots(1)\)と言える。

次に\(∠TAD=90°\)より、
\(∠BAT=90-∠DAB(〇)\cdots(2)\)である。

\((1),\ (2)\)より、\(∠BAT=90-∠DAB=∠ACB\)となる。

∠SACが鈍角(90°以上)の場合

接弦定理の証明|鈍角の場合
接弦定理の証明|鈍角の場合

鋭角の接弦定理より、\(∠A=∠C\)である。
\(∠BAC\)を〇とすると、円の接戦は直線なので、\(◇+〇+∠TAC=180°\)とできる。

三角形の内角の和も180°であるから、同じく\(〇+◇+∠ABC=180°\)となる。

以上より、$$∠TAC=∠ABC=180-◇-○$$

関連記事

関連動画

証明
スポンサーリンク
トムラボ

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

タイトルとURLをコピーしました