等比数列の和の公式の証明

以下の等比数列の和の公式を証明する。

初項\(a\), 公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和は

\begin{eqnarray}
S_n=\begin{cases}
\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}=\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}\ \ &(r\neq 1)&\\
na&(r=1)&
\end{cases}\end{eqnarray}

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等比数列の和の証明

r≠1のとき

初項\(a\), 公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、下記のように書くことができる。

$$S_n=a+ar+ar^2+ar^3\cdots ar^{n-2}+ar^{n-1}\cdots①$$

ここで①式の両辺を\(r\)倍する。

$$rS_n=ar+ar^2+ar^3+ar^4\cdots ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^n\cdots②$$

\(①-②\)より、下記のように計算できる

\begin{eqnarray}
S_n&=&a+ar+ar^2+ar^3\cdots ar^{n-2}+ar^{n-1}\\
-rS_n&=&\ \ \ \ -ar-ar^2-ar^3\cdots ar^{n-2}-ar^{n-1}-ar^n)\\
(1-r)S_n&=&a-ar^{n}\\
S_n&=&\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{eqnarray}

r=1のとき

初項\(a\), 公比\(1\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、下記のように書くことができる。

$$S_n=a+a+a\cdots a+a=na$$

以上より、初項\(a\), 公比\(r\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和は

\begin{eqnarray}
S_n=\begin{cases}
\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}=\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}\ \ &(r\neq 1)&\\
na&(r=1)&
\end{cases}\end{eqnarray}

となる。

等比数列の参考記事

最後に等比数列の参考になる記事と参考になる動画を紹介します。

等比数列の参考動画

こちらの動画がとてもまとまっており、わかりやすいです!

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