交流電源の実効値

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\(v=V_m \sin \omega t\)の実効値\(V\)は
\(V=\frac{V_m}{\sqrt{2}}\)

です。
でも\(\sqrt{2}\)ってどこから出てきたの?そもそも実効値ってなに?平均値ではないの?

といった疑問に答えていきます。

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実効値とは平均消費電力から来る

まずは、交流の電圧について復習しましょう。交流の電圧は正弦波で表します。

$$ v=V_m \sin \omega t $$

交流の電圧は時間によって電圧が変わっています。

横軸が時間\((t)\)、縦軸が電圧\((v)\)です。この電圧を周期で平均値を取るとゼロになります。\(v=0\)を中心に上に行ったり下にいったりしてますからね。

  

交流回路を考えるときに\(V=10V\)みたいに決まっていた方が、計算しやすいです。毎回\( v=V_m \sin \omega t \)だから、電流は\( i=\frac{V_m}{R} \sin \omega t \)になって・・・とか考えるのは現実的ではありません。

でも、平均値は使えない。そこで消費電力の平均値をもとにして「実効値」として使います。

消費電力を\(P\)とすると、\(P=\frac{v^2}{R}\)です。\( v=V_m \sin \omega t \)とすると、消費電力 \(P\) は以下の通りです。

$$P=\frac{1}{R}V^2_m \sin^2 \omega t $$

グラフにするとこんな感じ。

この消費電力\(P\)を周期\(T\)で積分して、平均値を取ると実効値\(V\)となります。

$$\begin{eqnarray}
V&=&\sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T V^2_m \sin^2 \omega t dt}\\\\
&=& \sqrt{ \frac{ V^2_m }{T} \int_0^T \frac{1-\cos^2 2\omega t}{2}dt}\\\\
&=& \sqrt { \frac{ V^2_m }{T} \left[ \frac{ t }{ 2 } \right]_0^T}\\\\
&=& \sqrt {\frac{ V^2_m }{T} \frac{ T }{ 2 }}\\\\
&=& \frac{ V_m }{\sqrt{2}}\end{eqnarray}$$

著者情報
この記事を書いた人
Kota

福岡県出身。高専から大学へ三年次編入したのち、大学院で工学の修士号・博士号を取得。数学と物理のプロフェッショナル。専門は電気。共同研究のためアイルランドへ留学経験あり。留学前は英語力が絶望的だったため、独学で猛勉強。海外旅行に1人で行ける程度の英語力を身につける。趣味はバドミントン・ボードゲーム・料理。最近はパン作りと英語多読にハマり中。TwitterとInstagramでも情報発信やってます!

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