問１（令和元年）
図のように、真空中に点\(P\)、 点\(A\) 、 点\(B\) が直線上に配置されている。 点\(P\)は\(Q[C]\)の点電荷を置いた点とし、\(A-B\)間に生じる電位差の絶対値を \( | V_{AB} |[V] \)の値が最小となるものと最大となるものの実験の組み合わせとして、正しいものを次の\((1)\)～\((5)\)のうちから一つ選べ。
（実験内容）
(a) \(P-A\)間の距離を\(2m\)、 \(A-B\) 間の距離を \(1m\) とした。
(b) \(P-A\)間の距離を\(1m\)、 \(A-B\) 間の距離を \(2m\) とした。
(c) \(P-A\)間の距離を\(0.5m\)、 \(A-B\) 間の距離を \(1m\) とした。
(d) \(P-A\)間の距離を\(1m\)、 \(A-B\) 間の距離を \(0.5m\) とした。
この問題を解くのに必要な式は$$V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\tag1$$
の１つです。
解くための3ステップはこちら！
- 電位 \( | V_{AB} |[V] \) の式を求める
- ４つの条件で電位を求める
- 最小と最大の電位になる実験条件を答える
では解説に移ります！
4つの条件での各電位を求める
条件aで解説します。先ほど紹介した式(1)を使うと、\(V_A\)と \(V_B\) は以下のようになります。
$$V_A=\frac{Q}{ 4\pi\varepsilon_0\times2} $$
$$V_B=\frac{Q}{ 4\pi\varepsilon_0\times3} $$
\(V_a\)と \(V_b\) の差\(|V_{AB}|\)を求めます。
$$\begin{eqnarray}
| V_{AB} | &=& |V_A-V_B| \\ \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\times2}- \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\times3} \\ \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} (\frac{1}{2}- \frac{1}{3}) \\ \\
&=&\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \times\frac{1}{6} \end{eqnarray}$$
このように、距離が変わって変化するのは \( \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \)より後ろのみです。
つまり、 \( \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \) より後ろのみで比較して最小と最大の組み合わせを見つけます。
\(P-A\)間の距離を\(r_a\)、 \(P-B\)間の距離を \(r_b\) とすると\(|V_{AB}|\)は簡単に求まります！
$$|V_{AB}|= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} (\frac{1}{ r_a }- \frac{1}{ r_b }) $$
4つの条件で電位を求める
さっき求めた式に距離の値をガシガシ当てはめていきます。
※注意
問題文はの距離は \(P-A\)間と \(A-B\)間 なので、\(r_b= (P-A)+( A-B )\)を使うこと
$$\begin{eqnarray}
(a)|V_{AB} | &=& \frac {Q}{4\pi\varepsilon_0} \times\frac{1}{6} \\
\\
(b)|V_{AB} | &=& \frac {Q}{4\pi\varepsilon_0} \times\frac{2}{3} \\ \\
(c)|V_{AB} | &=& \frac {Q}{4\pi\varepsilon_0} \times\frac{4}{3} \\ \\
(d)|V_{AB} | &=& \frac {Q}{4\pi\varepsilon_0} \times\frac{1}{3} \\ \\
\end{eqnarray}$$
最大最小を求める
ここまで来たらもう簡単。
step2で求めた電位を比べると
\((c)>(b)>(d)>(a)\)
つまり答えは\((2)\)の\((a)\)と\((c)\)