(2019)令和元年 理論-問2|電験三種過去問解説

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問2(答え:3)

図のように、極板間距離\(d[mm]\)と比誘電率\(\varepsilon_r\)が異なる平行板コンデンサが接続されている。極板の形状と大きさは全て同一であり、コンデンサの端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。印加電圧を\(10 kV\)とするとき、図中の二つのコンデンサの内部の電界の強さ\(E_A\)及び \(E_B\)の値\([kV/mm]\)の組み合わせとして、正しいものを次の\((1)\)~\((5)\)から選べ。

この問題を解くには3つの知識が必要です。

  • 直列の\(C\)の合成
  • 直列の \(C\) の分圧
  • \(V=dE\)の式

   

また、この問題を解くための3ステップです。

  1. 回路図を整理する( \(C\) の合成)
  2. 分圧で電圧を求める ( \(C\) の分圧)
  3. \(V=dE\) で \(E\) を求める

では解説します!

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Step 1. 回路図を整理する

まず3本の回路が並列につながっていますが、全ての回路に\(10kV\)の電圧がかかっています。

そして、求めたいのは \(E_A\)及び \(E_B\) なので、一番右の回路は関係ありません。消します!

   

さらに分かりやすいように、コンデンサに\(C_{1-4}\)の番号を付けます。平行平板の面積を\(S\)とすると、以下のように求めることができます。

$$\begin{eqnarray}
C_1 &=& \frac{ \varepsilon_r \varepsilon_0S}{d}= \frac{ 3\varepsilon_0S}{2} = \frac{ 3\varepsilon_0S}{2} \\ \\
C_{21} &=& \frac{ 3\varepsilon_0S}{3}, \quad
C_{22} = \frac{ 3\varepsilon_0S}{5}\\
C_2 &=& \frac{1}{\frac{1}{C_{21}}+\frac{1}{C_{22}}}= \frac{ 3\varepsilon_0S}{8} \\ \\
C_3 &=& \frac{ 2\varepsilon_0S}{4}
, \quad C_4 = \frac{ 2\varepsilon_0S}{6}
\end{eqnarray}$$

\(C_2\)を求めるのに直列の\(C\)の合成が必要です。では、次に分圧で\(C_1\)と \(C_3\) にかかる電圧を求めます!

Step 2. 分圧で\(C\)にかかる電圧を求める

\(C_1\)にかかる電圧\(V_1\)を求める

\begin{eqnarray}
V_1 &=& \frac{C_2}{C_1+C_2}\times10kV \\\\
&=& \frac{\frac{ 3\varepsilon_0S}{8}}{ \frac{ 3\varepsilon_0S}{8}+ \frac{ 3\varepsilon_0S}{2} } \times10kV \\ \\
&=& \frac{2}{10} \times10kV \\\\
&=& 5kV
\end{eqnarray}

\(C_2\)にかかる電圧\(V_2\)を求める

\(V_1\)と同様に求めます。

\begin{eqnarray}
V_1 &=& \frac{C_4}{C_3+C_4}\times10kV \\\\
&=& \frac{\frac{ 2\varepsilon_0S}{6}}{ \frac{ 2\varepsilon_0S}{6}+ \frac{ 2\varepsilon_0S}{4} } \times10kV \\ \\
&=& \frac{2}{5} \times10kV \\\\
&=& 4kV
\end{eqnarray}

Step 3. \(V=dE\) で \(E\) を求める

\(V=dE\)を使えばあとは簡単です!

\(E_A=\frac{V_1}{d}=\frac{2kV}{2mm}=1.0 [kV/mm] \)

\(E_B=\frac{V_3}{d}=\frac{4kV}{4mm}=1.0[kV/mm]\)

以上より答えは(3)です