問２（答え：３）
図のように、極板間距離\(d[mm]\)と比誘電率\(\varepsilon_r\)が異なる平行板コンデンサが接続されている。極板の形状と大きさは全て同一であり、コンデンサの端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。印加電圧を\(10 kV\)とするとき、図中の二つのコンデンサの内部の電界の強さ\(E_A\)及び \(E_B\)の値\([kV/mm]\)の組み合わせとして、正しいものを次の\((1)\)~\((5)\)から選べ。
この問題を解くには３つの知識が必要です。
- 直列の\(C\)の合成
- 直列の \(C\) の分圧
- \(V=dE\)の式
また、この問題を解くための3ステップです。
- 回路図を整理する（ \(C\) の合成）
- 分圧で電圧を求める （ \(C\) の分圧）
- \(V=dE\) で \(E\) を求める
では解説します！
Step 1. 回路図を整理する
まず3本の回路が並列につながっていますが、全ての回路に\(10kV\)の電圧がかかっています。
そして、求めたいのは \(E_A\)及び \(E_B\) なので、一番右の回路は関係ありません。消します！
さらに分かりやすいように、コンデンサに\(C_{1-4}\)の番号を付けます。平行平板の面積を\(S\)とすると、以下のように求めることができます。
$$\begin{eqnarray}
C_1 &=& \frac{ \varepsilon_r \varepsilon_0S}{d}= \frac{ 3\varepsilon_0S}{2} = \frac{ 3\varepsilon_0S}{2} \\ \\
C_{21} &=& \frac{ 3\varepsilon_0S}{3}, \quad
C_{22} = \frac{ 3\varepsilon_0S}{5}\\
C_2 &=& \frac{1}{\frac{1}{C_{21}}+\frac{1}{C_{22}}}= \frac{ 3\varepsilon_0S}{8} \\ \\
C_3 &=& \frac{ 2\varepsilon_0S}{4}
, \quad C_4 = \frac{ 2\varepsilon_0S}{6}
\end{eqnarray}$$
\(C_2\)を求めるのに直列の\(C\)の合成が必要です。では、次に分圧で\(C_1\)と \(C_3\) にかかる電圧を求めます！
Step 2. 分圧で\(C\)にかかる電圧を求める
\(C_1\)にかかる電圧\(V_1\)を求める
\begin{eqnarray}
V_1 &=& \frac{C_2}{C_1+C_2}\times10kV \\\\
&=& \frac{\frac{ 3\varepsilon_0S}{8}}{ \frac{ 3\varepsilon_0S}{8}+ \frac{ 3\varepsilon_0S}{2} } \times10kV \\ \\
&=& \frac{2}{10} \times10kV \\\\
&=& 5kV
\end{eqnarray}
\(C_2\)にかかる電圧\(V_2\)を求める
\(V_1\)と同様に求めます。
\begin{eqnarray}
V_1 &=& \frac{C_4}{C_3+C_4}\times10kV \\\\
&=& \frac{\frac{ 2\varepsilon_0S}{6}}{ \frac{ 2\varepsilon_0S}{6}+ \frac{ 2\varepsilon_0S}{4} } \times10kV \\ \\
&=& \frac{2}{5} \times10kV \\\\
&=& 4kV
\end{eqnarray}
Step 3. \(V=dE\) で \(E\) を求める
\(V=dE\)を使えばあとは簡単です！
\(E_A=\frac{V_1}{d}=\frac{2kV}{2mm}=1.0 [kV/mm] \)
\(E_B=\frac{V_3}{d}=\frac{4kV}{4mm}=1.0[kV/mm]\)
以上より答えは（3）です