(2019)令和元年 理論-問9|電験三種過去問解説

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問9

図は、実効値が\(1V\)で角周波数\(ω[krad/s]\)が変化する正弦波交流電流を含む回路である。いま、\(ω\)の値が\(ω_1=5krad/s\)、\(ω_2=10krad/s\)、\(ω_3=30krad/s\)と3通りの場合を考え、\(ω=ω_k(k=1, 2, 3)\)の時の電流\(i[A]\)の実効値を\(I_k\)と表すとき、\(I_1, I_2, I_3\)の大小関係として、正しいものを次の\((1)\)~\((5)\)のうちから一つ選べ。

答え(3)

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解説

この問題は交流回路の\(RLC\)並列回路の合成インピーダンス\(Z\)を求めることができるかどうかが、解けるかどうかの分かれ目になります。

では、まずコイルとコンデンサのリアクタンスから解説します。

  

\( ω= ω_1, ω_2, ω_3\)のときのコンデンサ\((C=10\mu F)\)のリアクタンスをそれぞれ\(X_{C1}, X_{C2}, X_{C3}\)とします。

$$\begin{eqnarray}
X_{C1} = \frac{1}{jω_1C}&=&-j\frac{1}{5\times 10^3\times10\times10^{-6}}\\
&=&-j20 \\\\
X_{C2} = \frac{1}{jω_2C}&=&-j\frac{1}{10\times 10^3\times10\times10^{-6}} \\ &=&-j10 \\\\
X_{C3} = \frac{1}{jω_3C}&=&-j\frac{1}{30\times 10^3\times10\times10^{-6}} \\ &=&-j\frac{10}{3}
\end{eqnarray}$$

  

\( ω= ω_1, ω_2, ω_3\)のときの コイル\(L=1mH\)のリアクタンスをそれぞれ\(X_{L1}, X_{L2}, X_{L3}\)とします。

$$\begin{eqnarray}
X_{L1} = jω_1L&=& j5\times 10^3\times10\times1^{-3}\\
&=&j5 \\\\
X_{L2} = jω_2L&=& j10\times 10^3\times10\times1^{-3}\\
&=&j10 \\\\
X_{L3} = jω_3L&=& j30\times 10^3\times10\times1^{-3}\\
&=&j30
\end{eqnarray}$$

ここまで来たら電流 \(I_1, I_2, I_3\)を求めていきます。\(RLC\)並列回路の電流の求め方は、

$$I=\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{X_L}+\frac{1}{X_C}\right)V$$

です。\(V=1V\)を代入して計算していきます。

  

$$\begin{eqnarray}
\dot{I_1} &=& \frac{1}{R}+\frac{1}{X_{C1}}+\frac{1}{X_{L1}}\\\\
&=& \frac{1}{100\times10^3}+\frac{1}{-j20}+\frac{1}{j5} \\\\
&=& 10^{-5}-j0.15\\
|I_1|&=&\sqrt{(10^{-5})^2+0.15^2} \simeq 0.15A\\\\
\dot{I_2} &=& \frac{1}{R}+\frac{1}{X_{C2}}+\frac{1}{X_{L2}}\\\\
&=& \frac{1}{100\times10^3}+\frac{1}{-j10}+\frac{1}{j10} \\\\
&=& 10^{-5}\\
|I_2|&=&\simeq 0.00A\\\\
\dot{I_3} &=& \frac{1}{R}+\frac{1}{X_{C3}}+\frac{1}{X_{L3}}\\\\
&=& \frac{1}{100\times10^3}+\frac{1}{-j\frac{10}{3}}+\frac{1}{j30} \\\\
&=& 10^{-5}+j0.3-j0.033\\&= &10^{-5}+j0.26\\
|I_3|&=&\sqrt{(10^{-5})^2+0.26^2} \simeq 0.26A\\\\ \end{eqnarray} $$

電流が求まったのであとは比較するだけです!

$$\begin{eqnarray}
|I_1|&\simeq& 0.15A \\
|I_2|&\simeq& 0.00A \\
|I_3|&\simeq& 0.26A\\
よって I_3<I_1<I_2
\end{eqnarray}$$

以上より答えは(3)です。

著者情報
この記事を書いた人
Kota

福岡県出身。高専から大学へ三年次編入したのち、大学院で工学の修士号・博士号を取得。数学と物理のプロフェッショナル。専門は電気。共同研究のためアイルランドへ留学経験あり。留学前は英語力が絶望的だったため、独学で猛勉強。海外旅行に1人で行ける程度の英語力を身につける。趣味はバドミントン・ボードゲーム・料理。最近はパン作りと英語多読にハマり中。TwitterとInstagramでも情報発信やってます!

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