この記事では、sin 152° = 0.469471…を求める仕方について説明します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を説明していきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
・・・ | ・・・ | ||
sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、sin152°の算出方法紹介です。
$$\sin 152°=0.469471…$$
10桁のsin 152°を表す
早速ですが、sin 152°を10桁書いてみましょう!$$\sin 152° = 0.4694715627 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin152°の値を解く
三角関数表を参照せずにsin152°の値を計算するやり方は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。
マクローリン展開でsin152°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 152°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.6529…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 152°\)を求められます。
$$\sin 152° = 0.469471…$$
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