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三角関数表のサインの表におけるsin152°の計算方法

この記事では、sin 152° = 0.469471…を求める仕方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、sin152°の算出方法紹介です。

$$\sin 152°=0.469471…$$

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10桁のsin 152°を表す

早速ですが、sin 152°を10桁書いてみましょう!$$\sin 152° = 0.4694715627 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin152°の値を解く

三角関数表を参照せずにsin152°の値を計算するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して152°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin152°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 152°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.6529…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 152°\)を求められます。

$$\sin 152° = 0.469471…$$

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