Esta vez, explicaré acerca de \(e^x\).
\(e^x\) es una función peculiar que sigue siendo \(e^x\) independientemente de si es diferenciada o integrada.
$$(e^x)'=e^x\Leftrightarrow\displaystyle\int e^x dx=e^x+C$$
Como en la fórmula anterior, sale la misma función. (C es la constante integral)
¡Me centraré en por qué aparece la misma función!
¿Qué es e (número de Nepier)?
\(e\) (número de Nepier) es un número que también se utiliza como base de los logaritmos naturales.
Se usa como \(\log_e x\), y se usa con tanta frecuencia que una regla se puede abreviar como \(\log x\).
La definición del número de Napier es la siguiente.
Definición de número de Napier
\(y=a^x(a>0,\ a≠0)\) valor en el que el coeficiente diferencial en \(x=0\) es \(1\)
El número de Napier \(e\) es un número irracional,
conocido por ser \(e=2.718281828459\cdots\)
Vamos a explicarlos uno por uno.
Definición de Napier número XNUMX
Explicaré "valores donde el coeficiente diferencial de \(y=a^x(a>0,\a≠0)\) en \(x=0\) es \(1\)".
La derivada de \(y=a^x\) en \(x=0\) da la pendiente de la tangente a \(y=a^x\) en \(x=0\).
Sabemos que la pendiente de la recta tangente aumenta a medida que aumenta \(a\).
\(a=2\) es menor que \(1\) y \(a=3\) es mayor que \(1\), entonces \(a=2\) y \(a=3\) Puedes ver que hay \(a\) entre los cuales la derivada es \(1\).
La línea roja es \(y=2^x\) y la línea azul es \(y=3^x\).
El valor de \(a\) en el que este coeficiente diferencial se convierte en \(1\) es el número de Napier \(e\),
\(e=2.718281828459\cpuntos\)
¿Por qué necesitamos el número de Napier?
La razón por la que es necesario un valor tan complicado es que "Quería una función que no cambie al diferenciarse o integrarsePorque.
El preámbulo fue largo, pero finalmente es el tema principal.
En otras palabras, "El número de Nepier es una función que no cambia aunque sea diferenciada o integrada" no es correcta,
Para ser precisos, es "Hice una función que no cambia aunque sea diferenciada o integrada".
Voy a explicar en detalle.
Encontremos el coeficiente diferencial de \(a^x\) en \(x=0\).
Sea \(f(x)=a^x\).
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&
\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ \\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^xa^ha^x}{h}\\\\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^0 a^ha^0}{h}\\\\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^h-1}{h}
\end{eqnarray}
Este \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^h-1}{h}\) se convierte en \(1\) \(a\) se convierte en \(e\) .
$$\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h}=1$$
Por eso
Diferenciación de \(e^x\)
Entonces, podemos diferenciar el número de Napier \(e\) de la siguiente manera.
\begin{eqnarray}
(e^x)' &=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ \\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^xe^he^x}{h}\\\\
&=& e^x\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h} \end{eqnarray}
Aquí, desde \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h}=1\),
\begin{eqnarray} (e^x)'&=& e^x\cdot 1 \\
&=& e^x \end{eqnarray}
Se probó \((e^x)'=e^x\).
Se calculó \((e^ x)'=e^x\).
Como mencioné anteriormente, "Encontré \(e(=2.71\cdots)\) cuando busqué \(a\) donde \((a^x)'=a^x\) contiene" es más preciso. Pero de cualquier manera está bien.
integrar \(e^x\)
Finalmente, con respecto a la integral a continuación.
$$\displaystyle\int e^x dx=e^x+C$$
\(C\) es la constante de integración.
La demostración de la integral anterior es \((e^x)'=e^x\), que se cumple porque la integral es la inversa de la diferenciación.
と な り ま す.
¡Este tiempo ha terminado!
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