[数B]ベクトル内積の分配法則｜2種類の方法で証明

ベクトルの分配法則｜証明方法

1. 余弦定理を使う
2. 余弦定理を使わない

参考記事：【余弦定理】公式と使い方と証明を工学博士が解説

ここでは内積の成分表示を証明します。

内積が理解できていれば飛ばしてください！

証明する式：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\)

証明：

頂点Cからベクトル\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)が出ているとき、\(\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}\)とする。

余弦定理より、

\begin{eqnarray}
|\vec{c}|^2 &=&| \vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2|\vec{a}|| \vec{b}|\cos C\\
|\vec{b}-\vec{a}|^2 &=&| \vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2|\vec{a}|| \vec{b}|\cos C\
\end{eqnarray}

ここで成分表示を用いると、
\(\vec{a}=(a_{1},\ a_{2})\)
\(\vec{b}=(b_{1},\ b_{2})\)
\(\vec{c}=(c_{1},\ c_{2})\)　なので、

三平方の定理を用いると下記の式が書けるようになる。

\begin{eqnarray}
(b_{1}-a_{1})^2+(b_{2}-a_{2})^2&=&b_{1}^2+b_{2}^2+a_{1}^2+a_{2}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos C\\
\end{eqnarray}

展開して計算すると、

\begin{eqnarray}a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} &=&|\vec{a}|| \vec{b}|\cos C \\
∴ \vec{a}\cdot\vec{b} &=& |\vec{a}|| \vec{b}|\cos C\\
&=& a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} \end{eqnarray}

証明する式：

$$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$$

証明：

\(\vec{b}+\vec{c}\)を成分表示すると、\((b_{1}+c_{1},\ b_{2}+c_{2})\)となる。

よって証明する式の左辺・右辺は下記のように導ける。

\begin{eqnarray}
左辺&=& (a_{1},\ a_{2})\cdot (b_{1}+c_{1},\ b_{2}+c_{2})\\
&=& a_{1}(b_{1}+c_{1})+a_{2}(b_{2}+c_{2})
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
右辺 &=& a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{1}c_{1}+a_2c_2 \\
&=& a_{1}(b_{1}+c_{1})+a_{2}(b_{2}+c_{2}) \end{eqnarray}

以上より、

$$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$$

は成立する。

分配法則の証明

\(\vec{a}\)の大きさを\(a\)とし、\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)のなす角を\(\theta\)とする。

ベクトルの内積は\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)である。

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=a\times①$$

同様に\(\vec{a}\)と\(\vec{c}\)及び、\(\vec{a}\)と\(\vec{b}+\vec{c}\)を考えると、

$$\vec{a}\cdot\vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|\cos\theta_2=a\times③$$

$$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=|\vec{a}||\vec{b}+\vec{c}|\cos\theta_3=a\times②$$

ここで、\(②=①+③\)なので、

$$a\times②=a\times①+a\times③$$

となる。

∴\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)である。