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三角関数表のコサインの表におけるcos90°を解く

それでは、cos 90° = 0.0…を計算する手法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求める方法を紹介していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos90°の計算方法説明です。

$$\cos 90°=0.0…$$

目次

10桁のcos 90°を表す

初めに、cos 90°を10桁表してみましょう!$$\cos 90° = 0.0 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos90°の値を明らかにする

三角関数表を使用せずにcos90°の値を算出する方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して90°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の手法だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos90°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 90°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.570796…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 90°\)を求められます。

$$\cos 90° = 0.0…$$

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