本解説では、sin 20° = 0.34202…を電卓で計算する手法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求め方を解説していきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、sin20°の求め方説明です。
$$\sin 20°=0.34202…$$
10位までsin 20°を表す
唐突ではありますが、sin 20°を10桁確認してみましょう！$$\sin 20° = 0.3420201433 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin20°の値を明らかにする
三角関数表を参照せずにsin20°の値を求める手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。
2の方法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でsin20°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 20°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.349065…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 20°\)を求められます。
$$\sin 20° = 0.34202…$$
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