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三角関数表のサインの表におけるsin205°の解き方

本解説では、sin 205° = -0.422619…を三角関数表を使わずに求める方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算の仕方を解説していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin205°の計算方法解説です。

$$\sin 205°=-0.422619…$$

目次

10桁のsin 205°を調べる

唐突ではありますが、sin 205°を10桁確認してみましょう!$$\sin 205° = -0.4226182618 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin205°の値を計算する

三角関数表を確認せずにsin205°の値を計算するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して205°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でsin205°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 205°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.577924…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 205°\)を求められます。

$$\sin 205° = -0.422619…$$

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