三角比の\(\sin x\)（サイン）, \(\cos x\)（コサイン）, \(\tan x\)（タンジェント）は独立しているようで、相互関係があります。
三角比の相互関係の中で重要な公式が以下の3つです！
- \(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)
- \(\tan θ=\displaystyle \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
- \(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)
今回はこの相互関係公式の証明と使い方を解説します。
三角比の相互関係
三角比であるサインコサインタンジェントの相互関係を示します。
- \(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)
- \(\tan θ=\displaystyle \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
- \(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)
この3種類について解説していきます。
三角比の相互関係の公式を証明
それでは、三角比の相互関係の式を証明していきます。
\(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)の証明
三角比の相互関係は定理ではないので、証明ってほどでもないですが簡単なのでちゃちゃっとやっちゃいましょう！
このような三角形を基本に考えます。
すると、
$$\begin{align}
\sin^2 θ+\cos^2 θ&=\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2\\&=\frac{x^2+y^2}{r^2}\\&=\frac{r^2}{r^2}※\\&=1\end{align}$$
（※ピタゴラスの定理より\(x^2+y^2=r^2\)）
簡単ですよね。
\(\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}\)の証明
こちらもこの三角形を使います。
$$\begin{align}\frac{\sin θ}{\cos θ}&=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}
\\&=\frac{y}{x}
\\&=\tan θ \end{align}$$
これで証明完了です！
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\(\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}\)の証明
これは上の２つの式を使えばすごく簡単です。
三角比相互関係の公式（再掲）$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$
$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$
$$\begin{align}\tan^2 θ+1 &=\left( \frac{\sin θ}{\cos θ}\right)^2+\frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ}
\\&=\frac{\sin^2 θ+\cos^2 θ}{\cos^2 θ}
\\&=\frac{1}{\cos^2 θ}
\end{align}$$
まずは\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)を使って変形しています。
また、\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)も使って証明できましたね。
相互関係の式の覚え方
絶対に覚えなければいけない公式なので、3ついっぺんに覚える方法です。
その方法は、流れで全て導けるようになる。
です。
相互関係を証明の流れで覚える順序
覚えるのは上の三角形の\(r=1\)バージョンだけです。
では証明を順序立ててやっていきます！
まず、\(\tan \theta=\displaystyle \frac{y}{x}\)です。
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{y}{1}=y\)で\(\cos \theta=\displaystyle \frac{x}{1}=x\)なので、
$$\tan \theta=\displaystyle \frac{y}{x}=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
ここで、三平方の定理から、\(x^2+y^2=1\)であるから、
$$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$$
が導ける。
さらに、\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)の両辺に\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)を掛ける。
\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}+\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}&=&\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\\
1+\tan^2 \theta&=& \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \end{eqnarray}
これで3つの相互関係の公式を覚える（導ける）ようになりましたね！
相互関係公式の使い方
相互関係公式は様々な場面で使えますが、三角比のどれか1つから3つ全てを導くのが最も使う方法です！
- \(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)
- \(\tan θ=\displaystyle \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
- \(\tan^2 θ+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}\)
例えば\(\sin \theta\)が分かれば、(1)の式から\(\cos \theta\)が求まります。
そして\(\sin \theta\)と\(\cos \theta\)で(2)を使うと\(\tan \theta\)を導けます！
このように、1つの三角比から他を導くために使える公式です。
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【重要】三角関数の公式一覧
三角関数は公式を知っているかどうかで、勝負が決まります。
重要公式をまとめたので、確認しましょう。
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