arcsinの微分｜アークサインの微分の解き方

逆三角関数であるアークサインですが、これを微分するのは少しテクニックがいります。そこでこの解説では、簡単にできるアークサインの微分の方法を紹介します！

今回使用するテクニックは逆関数の微分法です！

まずは、合成関数の微分法で微分してみて、次に逆関数の微分法を使って、どれくらい楽になるか実感しましょう！

アークサインの微分

$$y=Sin^{-1}x$$

とすると、これは逆三角関数なので

$$x=\sin y \dots(1)$$

と同じ意味になります。ここで(1)式の両辺をｘで微分します。

$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\sin y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\sin y\frac{dy}{dx}(合成関数の微分法)\\
1 &=& \cos y \frac{dy}{dx}\\
\end{eqnarray}$$

となります。つまり

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y} (※ただし\cos y \neq 0)$$

となります。これで微分完了に見えますが、\(\cos y\)には\(y\)が使われています。このままでは微分完了とは言えません。そこで、変形して\(x\)の関数にします。

cos yを変形する

\(\cos y\)を変形するために、少しだけテクニックを使います。

具体的にはこの公式。この公式を\(\cos y=\)の形にしてやると・・・

$$\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}$$

さらに最初に示した通り、

$$y=Sin^{-1}x \leftrightarrow x=\sin y$$

なので、\(\sin y\)に\(x\)を代入しちゃいます！ここで今までの変形をまとめると・・・

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

ようやく微分完了です！

次に逆関数の微分法を使ってみて、どれくらい楽になるか確認してみましょう！

arcsinの微分｜逆関数の微分法

ここで\(g(x)=Sin^{-1}x\)、\(f(y)=\sin y\)です！

POINTの式を使って計算すると

$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos y}$$

ってことです。あとは\(\cos y\)を同じように変形すればいいだけです。

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

この方法であれば、合成関数の微分法なんかを使わなくてもできるので楽ですね！

さいごに｜アークサイン（arcsin）の微分

3種類ある逆三角関数ですが、その他の微分のも求め方はほとんど同じです。求め方は大きく2種類あります。

• 合成関数の微分法を使う
• 逆関数の微分法を使う

です。