今回はsinh xを微分する方法を解説します。
具体的には下記の微分を証明していきます!
$$(\sinh x)’=\cosh x$$
記事の前半で\(\sinh x\)の微分を計算して、後半で微分に使った公式などを紹介していきます!
双曲線関数の特徴
微分の前に、双曲線関数の基礎知識を知っておきましょう!
双曲線関数の読み方
双曲線関数の読み方は下記の通りです。
\(\sinh x\rightarrow\)ハイパボリックサイン
\(\cosh x\rightarrow\)ハイパボリックコサイン
\(\tanh x\rightarrow\)ハイパボリックタンジェント
\(\sinh x\)をシャインx、\(\cosh x\)をコシュxと呼ぶ人もいますね。
双曲線関数の式
\begin{eqnarray}
\sinh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2} \\\\
\cosh x &=& \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2} \\\\
\tanh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\\\
\end{eqnarray}
今回の微分で使うのは\(\sinh x\)と\(\cosh x\)です。
sinh xの微分
では微分していきます。
微分の性質より、
\(\{f(x)\pm g(x)\}’=f'(x) \pm g'(x)\)であり、
定数\(k\)に対して\((kf(x))’=k\cdot f'(x)\)である。
また、\((e^x)’=e^x,\ (e^{-x})’=-e^{-x}\)を使うと、下記の通り\(x\)について微分できる。
\begin{eqnarray}
(\sinh x)’ &=& \left( \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})’\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\{(e^x)’-(e^{-x})’\}
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\\\\
&=&\cosh x \end{eqnarray}
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