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三角関数表のサインの表におけるsin100°を導出する

それでは、sin 100° = 0.984807…を計算するやり方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、sin100°の求める方法説明です。

$$\sin 100°=0.984807…$$

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10位までsin 100°を確認

まずは、sin 100°を10桁確認してみましょう!$$\sin 100° = 0.984807753 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin100°の値を求める

三角関数表を使用せずにsin100°の値を求める方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器用いて100°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin100°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 100°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.745329…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 100°\)を求められます。

$$\sin 100° = 0.984807…$$

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