本解説では、sin 14° = 0.241921…を算出する仕方について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を説明していきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin14°の求める方法説明です。
$$\sin 14°=0.241921…$$
sin 14°を10桁調べる
最初に、sin 14°を10桁確認してみましょう！$$\sin 14° = 0.2419218955 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin14°の値を求める
三角関数表を確認せずにsin14°の値を解く方法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2のやり方だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でsin14°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 14°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.244346…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 14°\)を求められます。
$$\sin 14° = 0.241921…$$
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