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三角関数表のコサインの表におけるcos198°を簡単導出!

それでは、cos 198° = -0.951057…を求める手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算方法を紹介していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、cos198°の計算の仕方解説です。

$$\cos 198°=-0.951057…$$

目次

10桁のcos 198°を調べる

初めに、cos 198°を10桁調べてみましょう!$$\cos 198° = -0.9510565163 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos198°の値を解く

三角関数表を確認せずにcos198°の値を算出するやり方は3つあります。

  1. 分度器用いて198°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でcos198°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 198°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.455751…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 198°\)を求められます。

$$\cos 198° = -0.951057…$$

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