この記事では、sin 157° = 0.390731…を三角関数表を使わずに求める方法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求める方法を明らかにしていきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin157°の算出方法紹介です。
$$\sin 157°=0.390731…$$
10桁のsin 157°を調べる
初めに、sin 157°を10桁書いてみましょう！$$\sin 157° = 0.3907311284 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin157°の値を算出する
三角関数表を使用せずにsin157°の値を算出する手法は大きく3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。
2のやり方だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。
マクローリン展開でsin157°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を算出することができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 157°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.740166…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 157°\)を求められます。
$$\sin 157° = 0.390731…$$
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