今回は余弦定理で角度を求める方法を解説していきます。
三角形\(ABC\)において、\(AB=c,\ BC=a,\ CA=b\)とするとき下記の式が成り立つ。
\begin{eqnarray} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A\\
b^2&=&c^2+a^2-2ca \cos B\\
c^2&=&a^2+b^2-2ab \cos C\end{eqnarray}
余弦定理を使って三角形の角度を求める方法を解説します。
準備：余弦定理の式変形
まずは角度を求める準備段階として、余弦定理を式変形します。
\begin{eqnarray}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A\\
2bc\cos A &=&-a^2+b^2+c^2\\
\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\end{eqnarray}
このように余弦定理を\(\cos A=\)の形に変形してあげます。
余弦定理３つの式で同様に変形すると、下記の式ができます。
余弦定理変形版
\begin{eqnarray}\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
\cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\end{eqnarray}
余弦定理で角度を求める2つの方法
余弦定理で角度を求める方法は2つあります。
- ２辺とその間の角から求める
- ３辺の長さから求める
実際に求め方を解説します。
３辺の長さから計算する（余弦定理）
変形した式から分かる通り、3辺の長さがわかれば、どの角度も求められます。
\begin{eqnarray}\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
\cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\end{eqnarray}
具体的には３STEPで求めることができます！
余弦定理で角度を求める３STEP
- 余弦定理変形版に各辺の長さを代入する
- \(\cos A\)の値を求める
- 逆三角関数（アークコサイン）で\(A\)を計算する
下記の例のように３辺の長さ(\(a=7,\ b=5,\ c=10\))が分かれば、3つの角度を求めることができるのです。
時間があれば例題も解いてみてください。
上記の三角形の角A、角B、角Cの大きさを計算せよ。
解答：
$$A=40.5358°,\ B=27.6605°,\ C=111.8037°$$
解説：
まずは角Aの大きさを求めてみましょう。
$$\cos A = \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
この式を使います。\(a,\ b,\ c\)に値を代入すると以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\cos A &=& \displaystyle \frac{5^2+10^2-7^2}{2\times5\times10} \\
&=& \displaystyle \frac{125-49}{100}\\
&=&\displaystyle \frac{76}{100}\\
&=&\displaystyle \frac{19}{25} \end{eqnarray}
ここまでで\(\cos A=\displaystyle \frac{19}{25}\)が分かりました。
ここからは計算機（もしくは教科書の最後のページにある三角関数表）の出番となります。
\(\displaystyle \frac{19}{25}=0.76\)なので、
\(\cos A\)の\(A\)にどんな角度が入れば\(0.76\)になるかを調べます。
教科書の資料を見てみると、
\(\cos 40°=0.7660\)で、\(\cos 41°=0.7547\)と記載されています。
つまり\(∠A=40°\)と分かります。（正確には約\(40°\)ですね。）
実際に計算機で計算すると、\(∠A=40.5358\cdots\)となりました。
計算機を使う場合は逆三角関数のアークコサインという機能を使いましょう！
三角形の角度について、同様に角Bと角Cを求めていきます。
\begin{eqnarray} \cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\
&=&\displaystyle \frac{124}{140} \\
&=&0.8857\end{eqnarray}
となります。
逆三角関数のアークコサインで計算すると、
\(∠B=27.6605\cdots\)となりました。
最後に角Cですが、三角形の内角の和は180°であることを利用すると簡単に解けます。
\begin{eqnarray} C &=& 180-A-B \\
&=& 180-40.5358-27.6605\\
&=& 111.8037 \end{eqnarray}
です。
もちろん小数点以下第５位を四捨五入しているので、多少の誤差を含みます。
２辺その間の角から求める（余弦定理）
下記の式を使って３STEPで求めることができます！
$a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A$
2辺とその間の角から求める３STEP
- 分かっている角の\(\cos x\)を計算する
- ２辺とその間の角を使って残る１辺の長さを求める
- ３辺の長さから角度を計算した方法で計算する
例えば下記の三角形なら、
$a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A$のうち、$b,\ c,\ \cos A$は求められるので、\(a\)が求められます。
すると、3辺の長さがわかるので、変形版余弦定理を使うことで角度を求められます。
\begin{eqnarray}\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
\cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\end{eqnarray}
時間がある方は例題2を解いてみましょう。
上記の三角形の角B、角Cの大きさを計算せよ。
解答：
$$∠B=23.4468,\ ∠C=36.5532$$
解説：
今、bとcの長さが分かっているので、aの長さを計算します。
\(\cos 120°=-0.5\)なので、これを余弦定理に代入します。
\begin{eqnarray} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A \\
&=& 8^2+12^2+192\times0.5\\
&=&112\\
∴\ a&=&17.44 \end{eqnarray}
となります。
ここから３辺の方で計算したやり方を適用すると、以下の答えを導けます。
\(∠B=23.4468,\ ∠C=36.5532\)
余弦定理で三角形の面積を求める
余弦定理を使うことで、三角形の面積を求めることもできます。
三角形の面積を求める
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