[数A]順列と組み合わせの違い

今回は場合の数で使用する順列と組み合わせの違いになります。
順列と組み合わせの違いは、順番を考慮するかどうかです。

この違いをしっかり理解しておかないと、場合の数と確率のどちらもわからなくなります。

この記事では順列と組み合わせについて、具体例を使って解説していますので、読むだけで理解できます。

練習問題も用意していますので、よかったら最後まで読んでみてください。

順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせの違いは順番を考えるかどうかです。

具体的に順列とは何か、組み合わせとは何かを見ていきましょう。

順列とは      

順列とは、いくつかのものの中からいくつかを選んで並べるところまでを考える場合の数のことです。

例えば、3人（A,B,C）の人から2人を選んで横一列に並べることを考えます。

樹形図で考えると、以下の6通りが考えられます。

これを順列と言います。

組み合わせとは       

組み合わせとは、いくつかのものの中からいくつかのものを選ぶだけを考える場合の数のことです。

例えば、3つの玉（A,B,C）の入った袋から、2つの玉を取り出すときのことを考えます。

樹形図で考えると、以下の3通りが考えられます。

これを組み合わせと言います。

順列では、A-BとB-Aを違うものとして扱っているのに対して、組み合わせでは同じものとして扱っているところが異なります。

順列の公式と問題     

順列の公式    

n個のものの中かr個選んで並べるとき、以下のように公式を書くことができます。

$$_nP_r= n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×…×(n-r+1)$$

実用的な考え方をすれば、「nから1ずつ減算しながらr個分かけ算する」と考えることができます。

いくつか例を挙げてみます。

\(_3P_2=3×2=6\)
（3から1ずつ減算しながら2個分かけ算）

\(_5P_3=5×4×3=60\)
（5から1ずつ減算しながら3個分かけ算）

\(_6P_1=6\)
（6から1ずつ減算しながら1個分かけ算、つまり6のみ）

\(_5P_5=5×4×3×2×1\)（5から1ずつ減算しながら5個分かけ算）

なお、\(_nP_0=1\)と定義されています。

ここで、例の最後に示した、\(_5P_5\)に関しては別の表し方があります。

\(_5P_5=5!\)（5の階乗）と表します。

つまり、n人全員並び替えるといったときは、Pを用いるのではなくn!と表します。
これを用いると、最初に示した公式を以下のようにあらわすこともできます。

$$_nP_r=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}$$

練習問題      

問題

　5人の生徒から3人の生徒を選び、
(1) 横一列に並べる場合の数は何通りか。
(2) 5人全員を横一列に並べるとき、何通りか。

解答   

(1) \(_5P_3=5×4×3=60\)

よって60通りになります。

(2) \(5!=5×4×3×2×1=120\)

よって120通りになります。

解説   

(1)

5人から3人を選んで並べるため、順列を考えれば問題が解けます。

この場合、公式に当てはめると、\(n=5\)、\(r=3\)なので\(_5P_3\)となります。

計算をすることにより、60通りと求めることができます。

(2)

5人全員を並べるため、階乗を用いることができます。

つまり、\(5!\)となるため、計算をして120通りになります。

組み合わせの公式と問題      

組み合わせの公式     

n個の中からr個を選ぶとき、組み合わせの公式は以下のようになります。

$$_nC_r=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}=\displaystyle \frac{n×(n-1)×(n-2)×…×(n-r+1)}{r×(r-1)×(r-2)×…×1}$$

これは、このように書くことも可能です。

\(_nC_r=\displaystyle \frac{_nP_r}{r!}\)

つまり、順列を\(r!\)で割ることにより、\(A-B\)、\(B-A\)のような並び替えの分を削減したと考えることができます。
また、rがn/2よりも大きい際はこちらも使えるようにしましょう。

$$_nC_r=_nC_{n-r}$$

「\(n\)個から\(r\)個選ぶ」というのは、「\(n\)個から選ばない\(n-r\)個を選ぶ」というように考えることができます。

具体例をいくつか挙げてみます。

計算の際は、必ず約分してから計算することを心掛けましょう。

\(_3C_2=\displaystyle \frac{3×2}{2×1}=3\)

\(_7C_3=\displaystyle \frac{7×6×5}{3×2×1}=35\)

\(_{10}C_8=_{10}C_2=\displaystyle \frac{10×9}{2×1}=45\)

なお、\(_nC_0=1\)と定義されています。

練習問題      

問題

10個の玉が入った袋から7個の玉を選ぶのは何通りか。

解答   

₁₀C₇=₁₀C₃=10×9×8/3×2×1=120

したがって、120通りになります。

解説   

10個の玉から7個の玉を取り出すため、n=10、r=7として、組み合わせの公式を用います。

そうすると、\(_{10}C_7\)と表すことができます。

計算をすることにより、120通りと求めることができます。
$$_{10}C_7=_{10}C_3=\displaystyle \frac{3\time2\times1}{10\time9\times8}=120$$

順列と組み合わせのまとめ    

今回は、順列と組み合わせについて解説しました。

この2つはよく曖昧になって、どちらを使うべきか判断ができなくなることがあります。

この機会に、しっかり理解して、使い分けれるようにしておきましょう。