今回は三角関数で習う半角の公式の覚え方です。
一言に覚え方といっても、3パターンの方法があります。
(1)語呂合わせで公式自体を覚える
(2)計算のやり方を覚える
(3)計算と語呂合わせを組み合わせる
この3パターンの覚え方を、わかりやすく解説していきます。
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半角の公式覚え方3パターン
半角の公式は下記の3式です。
半角の公式
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
この3つの式を覚えるパターンは、大きく3つです。
私のおすすめは、加法定理だけ覚える3つ目です。
しかし、人によって好みがあります。
自分に合った覚え方で覚えましょう！
覚え方1｜語呂合わせで3式覚える
1つ目の覚え方は3式とも語呂合わせで覚える方法です。
この方法がおすすめ度 ★の理由は「三角関数は覚える式が多すぎるから」です。
半角の公式の他に「三角関数の相互関係、加法定理、倍角の公式・・・」など重要公式が多いです。
全て覚えるのは大変ですよね。
ただ、暗記が得意な方にはおすすめできる方法です。
半角の公式語呂合わせ
半角の公式の語呂合わせは下記の3つです。
おすすめの語呂合わせがあったらコメント欄で教えてください！
では1つずつ解説していきます！
sinの語呂合わせ
式 ：\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)
語呂合わせ：新次ハンは、自分のいちヒ子
語呂合わせの当てはめは↓こんな感じです。
$$\sin^2 (新次)\displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン(半)) =(は) \displaystyle \frac{1-\cos \theta(いちヒ子)}{2(自分の)}$$
cosの語呂合わせ
式 ：\(\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\)
語呂合わせ：コス次ハンは、自分のいちタコ
語呂合わせの当てはめは↓こんな感じです。
$$\cos^2 (コス次)\displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン(半)) =(は) \displaystyle \frac{1+\cos \theta(いちタコ)}{2(自分の)}$$
tanの語呂合わせ
式 ：\(\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} =\displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \)
語呂合わせ：短字ハンはいちタコ の上の いちヒ子
語呂合わせの当てはめは↓こんな感じです。
$$\tan^2(短字) \displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン) =(は)\displaystyle \frac{1-\cos \theta\ (上のいちヒ子)}{1+\cos \theta\ (いちタコの)} $$
以上が語呂合わせです。
次に3つの式がある半角の公式のうち、1つは語呂合わせ、2つは計算方法を覚える方法を解説します！
覚え方2｜語呂合わせと計算で覚える
2つ目の覚え方は、語呂合わせと計算のハイブリッドです。
おすすめ度★★の理由は、全て語呂合わせで覚えるより、覚える式の数が減るからです。
計算に下記2式は使いますが、この2式は三角関数の超重要公式なので、覚えている前提で解説します。
\begin{eqnarray}
\sin^2 x +\cos^2 x&=&1\\
\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}
\end{eqnarray}
この方法だと必要になった公式だけ、その場で求めればOKなので覚える労力が少なくて済みます。
では実際に覚え方（求め方）をみていきましょう。
半角の公式を求めるステップ
語呂合わせで覚える1式は、
\(\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\)
です。
覚え方は下記の通り。
$$\sin^2 (新次)\displaystyle \frac{\theta}{2}(ハン(半)) =(は) \displaystyle \frac{1-\cos \theta(いちヒ子)}{2(自分の)}$$
ここから2つのステップで求めていきます。
三角関数の相互関係である2つの式を使って、
$$\sin^2 x +\cos^2 x=1$$
から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める。
次に、
$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$
から\(\tan^2 x\)を求める方法です。
具体的に求める計算を紹介しますね！
半角の公式を求める計算
計算は2ステップで実施できます。
ステップ1
ステップ1として、下記2式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を計算します。
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}=1\cdots(1)$$
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\cdots(2)$$
(1)に(2)を代入して計算すると求められます。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\left( \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\right)+\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1-\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2-(1-\cos x)}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}
\end{eqnarray}
ステップ2
$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$
上記の式を使って、\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求めます。
\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \frac{x}{2} &=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}
このように\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)だけ語呂合わせで覚え、残りは計算で導出できます。
テストで必要になった式だけ、その場で求めることができるのがいいですね！
では最後の覚え方です。
\ おすすめの参考書！ /
覚え方3｜3式とも計算で求める
おすすめ度は★★★の方法です。
理由は三角関数の超重要公式と加法定理を覚えていれば、その場で計算できるため、覚える労力は非常に小さいです。
私もそうですが、暗記が苦手な方には向いていますよ！
では求めていきましょう。
求めるステップは、
- 加法定理から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める
- \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める
- \(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2},\ \cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)から\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める
となります。
半角の公式の証明と同じ流れですね。
ステップ2とステップ3は、覚え方2と同じです。
ここではステップ1「加法定理から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める」を解説します。
ステップ1：加法定理から\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求める
加法定理より、
$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A \sin B$$
ここで、\(A=B=x\)とおくと下記のように計算できる。
\begin{eqnarray}
\cos(x+x)&=&\cos x\cos x-\sin x \sin x\\
\cos 2x&=&\cos^2 x-\sin^2x
\end{eqnarray}
三角関数の公式【\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)】を使うと、
\begin{eqnarray}
\cos 2x&=&(1-\sin^2 x)-\sin^2 x\\
&=&1-2\sin^2 x
\end{eqnarray}
と変形できます。
さらに計算すると
\begin{eqnarray}
2\sin^2 x&=&1-\cos 2x\\
\sin^2 x &=&\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}
\end{eqnarray}
となります。
最後に\(x=\displaystyle \frac{x}{2}\)を代入すると、
半角の公式の\(\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)になるのです。
ここからは覚え方2と同様です！
必要があれば下記の「ステップ2とステップ3」をタップしてください。
計算方法を再掲しています。
ステップ2
ステップ2として、下記2式から\(\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を計算します。
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}=1\cdots(1)$$
$$\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} = \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\cdots(2)$$
(1)に(2)を代入して計算すると求められます。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2} +\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\left( \displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\right)+\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}&=&1-\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2-(1-\cos x)}{2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}
\end{eqnarray}
ステップ3
$$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$
上記の式を使って、\(\tan^2 \displaystyle \frac{x}{2}\)を求めます。
\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \frac{x}{2} &=&\displaystyle \frac{\sin^2 \displaystyle \frac{x}{2}}{\cos^2 \displaystyle \frac{x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1-\cos x}{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}
\end{eqnarray}
半角の公式覚え方｜まとめ
半角の公式の覚え方を3種類紹介してきました。
おすすめ度は私の意見ですので、あなたにあった覚え方で覚えてしまいましょう！
また、半角の公式の証明や使い方についてもまとめた記事もあるので、ご活用ください！
>>半角の公式｜まとめ<<
今回は以上です！
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