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三角関数表のサインの表におけるsin211°を導出する

それでは、sin 211° = -0.515039…を三角関数表を使わずに求める方法について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を明らかにしていきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin211°の算出方法説明です。

$$\sin 211°=-0.515039…$$

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sin 211°を10桁書いてみる

最初に、sin 211°を10桁書いてみましょう!$$\sin 211° = -0.515038075 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin211°の値を求める

三角関数表を参照せずにsin211°の値を解く方法は3つあります。

  1. 分度器を使用して211°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でsin211°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 211°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.682644…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 211°\)を求められます。

$$\sin 211° = -0.515039…$$

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