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三角関数表のコサインの表におけるcos314°の求め方

本解説では、cos 314° = 0.694658…を求める手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、cos314°の求める方法解説です。

$$\cos 314°=0.694658…$$

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cos 314° を10桁書いてみる

早速ですが、cos 314°を10桁表してみましょう!$$\cos 314° = 0.6946583704 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos314°の値を解く

三角関数表を使用せずにcos314°の値を解く方法は3つあります。

  1. 分度器を使って314°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos314°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 314°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.480333…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 314°\)を求められます。

$$\cos 314° = 0.694658…$$

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