今回は2倍角の公式について解説していきます。
二倍角の公式とは何か、証明と覚え方まで紹介していきます。
ニ倍角の公式とは
二倍角の公式とは、下記に示す3つの公式からなる三角関数の公式です。
\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}
それでは、三角関数の倍角の公式の証明と覚え方を解説していきます。
ニ倍角の公式の証明
ニ倍角の公式には加法定理を使います。
加法定理とは
加法定理とは下記の3つの式からなる定理です。（符号違いを含めると6つあります。）
\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}
それでは、加法定理を使って２倍角の公式を導出していきます。
\((a)\ \sin 2A=2\sin A \cos A\)の導出
加法定理より、
$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$
ここで\(B=A\)とすると、
\begin{eqnarray}
\sin (A + A) &=&\sin A \cos A + \cos A \sin A \\
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A
\end{eqnarray}
以上。
加法定理と\(B=A\)とすることの２つを覚えていれば簡単に導出できる式です。
\((b)\ \cos 2A=\cos^2 A -\sin^2 A\)の導出
加法定理より、
$$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$$
ここで、\(B=A\)とすると、
\begin{eqnarray}
\cos (A + A) &=& \cos A \cos A – \sin A \sin A \\
\cos 2A &=& \cos^2 A -\sin^2 A \end{eqnarray}
以上。
また三角関数の公式、\(\sin^2 A+\cos^2 A =1\)より、
\begin{eqnarray} \sin^2 A &=& 1-\cos^2 A \\
\cos^2 A &=& 1-\sin^2 A \end{eqnarray}
である。よって、
\begin{eqnarray}
\cos 2A &=&\cos^2 A-\sin^2 A\\
&=& 2\cos^2 A-1\\
&=&1-2\sin^2 A
\end{eqnarray}
と変形できる。
\(\cos 2A\)の式はたくさんあるから、覚えるのが大変に感じます。
しかし、覚える公式は１つでOK。
\(\cos 2A =\cos^2 A-\sin^2 A\)だけです。
あとは三角関数の公式から導きましょう。
$$\sin^2 A+\cos^2 A =1$$
\((c)\ \tan 2\theta=\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\)の導出
三角関数の公式より、
$$\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$$
２倍角の公式より、
\begin{eqnarray}
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A \\\\
\cos 2A &=&\cos^2 A-\sin^2 A\
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{eqnarray}
\tan 2A&=&\displaystyle \frac{\sin 2A}{\cos 2A}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A-\sin^2 A}\\\\
&=& \displaystyle \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A-\sin^2 A}\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}}{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}}{1-\displaystyle \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}
\end{eqnarray}
以上。
加法定理の証明も同じでしたが、\(\tan A=\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}\)の公式は非常に重要です。
しっかり覚えておきましょう！
２倍角の公式の覚え方
では、これまでに導出してきた２倍角の公式の覚え方です。
覚え方は2通りあります。
2種類の覚え方
- 計算方法を覚える
- 語呂合わせで覚える
です。
どちらの方が良いとかはありません。
あなたに合った方法で覚えましょう！
両方頭に入れておけば最強ですよ！
では、１つずつ解説していきます。
計算方法で覚える２倍角の公式
語呂合わせで完璧に暗記できれば良いのですが、実は結構難しいです。
三角関数は覚える公式がたくさんあるため、
「語呂合わせなんだっけ？？？」
と式が出てこないことは良くあること。
念の為、計算方法の覚え方を解説します。
計算での覚え方
覚えることはたった３つ！
- 導出には加法定理を使う
- 加法定理の\(A+B\)を\(A+A\)にする
- \(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である
例えば\(\sin 2A\)の導出だと、
\begin{eqnarray}
\sin (A + A) &=&\sin A \cos A + \cos A \sin A \
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A
\end{eqnarray}
このように、加法定理の\(A+B\)を\(A+A\)にするだけで証明できます。
\(\cos 2A\)も同様です。
ただし、\(\tan 2A\)の導出では\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)が必須なので、これは覚えておきましょう。
語呂合わせで覚える２倍角の公式
最後は語呂合わせです。
\(\sin 2A\)の語呂合わせ
『サイはNISA（ニーサ）行こう』
$$\sin 2A &=& 2\sin A \cos A$$
\(\sin 2A = \)『サイは』
\(2\sin A \cos A\)『NISA（ニーサ）行こ』う
です。
\(\cos 2A\)の語呂合わせ
『コツは小さじ my催事』
\begin{eqnarray}
\cos 2A &=& \cos^2 A -\sin^2 A \end{eqnarray}
\(\cos 2A=\)『コツは』
\(\cos^2 A\)『小さじ』
\(-\sin^2 A\)『my（マイナス）催事』
です。
\(\tan 2A\)の語呂合わせ
『単２は、いまだに にたんじ（異端児）』
$$\tan 2A=\displaystyle \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}$$
\(\tan 2A=\)『単２は』
\(1-\tan^2 A\)『い（１）ま（マイナス）だに』
\(2\tan A\)『にたん』じ（異端児）
です。
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【重要】三角関数の公式一覧
三角関数は公式を知っているかどうかで、勝負が決まります。
倍角の公式以外の重要公式もまとめたので、確認しましょう。
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