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三角関数表のコサインの表におけるcos356°を導出する

それでは、cos 356° = 0.997564…を算出する処理方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の計算方法を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、cos356°の求め方紹介です。

$$\cos 356°=0.997564…$$

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10位までcos 356°を調べる

早速ですが、cos 356°を10桁表してみましょう!$$\cos 356° = 0.9975640502 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos356°の値を算出する

三角関数表を活用せずにcos356°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して356°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でcos356°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 356°$$

この式を計算すると、
$弧度法=6.213372…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 356°\)を求められます。

$$\cos 356° = 0.997564…$$

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