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[数2]シグマの計算、公式とその証明、k乗、等比数列を解説

シグマの計算は新しい数学の記号が出てくることもあり、苦手とする学生が多い計算です。

この記事ではそのシグマの計算方法と、シグマを使った有名な公式とその証明について解説します。

この記事を読むことで、シグマの内容を理解することができ、有名な公式と証明をバッチリ理解できます。みんなが苦手なシグマの計算を理解して、差をつけていきましょう!!

目次

シグマとは?

今回は、数列に出てくるシグマについて説明します。
以下のシグマの式を考えます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$

これは、「$a_k$の式においてk=1からnまでの整数を代入したときの和」を表します。

つまり、$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots+ a_n$を表します。
具体的には、$\displaystyle \sum_{k=1}^5 k^2=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2$となります。

シグマの性質

次に、シグマの性質を紹介します。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n (a_k + b_k)=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k + \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n ca_k = c\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$

これらのように、シグマの中にある和は2つのシグマの和に変形できます。
また、シグマの中のかけられた定数は、外に出すことができます。

ただし、注意しておきたいこととして、以下の式は基本的には成り立たちません。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n (a_k \times b_k)=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \times \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$

シグマの公式の証明

シグマの計算には有名な公式がいくつかあります。
今回はその中でも下記に示す3つの有名な公式と証明を解説していきます。

  1. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)$
  2. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\displaystyle \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$
  3. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\{\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)\}^2$

1つ目の公式

まずは、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)$となります。

シグマを和の形で表すと$\displaystyle \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n$となります。

これは、初項1、公差1、項数nの等差数列の和になります。
つまり、等差数列の和の公式より、$\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)$と表されます。

※参考記事
[数B]等差数列の和の公式|証明と練習問題

2つ目の公式

次に、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\displaystyle \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$となります。

これを証明するために、次の式を利用します。

$(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$

これを変形すると、次の式になります。

$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$

次のように、この式にk=1からnまで代入した式を考えます。

$k=1 \cdots2^3-1^3=3・1^2+3・1+1$

$k=2 \cdots3^3-2^3=3・2^2+3・2+1$

$k=3 \cdots4^3-3^3=3・3^2+3・3+1$

$\cdots$

$k=n\cdots(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$

これらの式の両辺を足して変形していきます。

\begin{eqnarray}
(n+1)^3-1^3&=&3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n \\
n^3+3n^2+3n+1-1&=&3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2+3\displaystyle \sum_{k=1}^n k+n \\
n^3+3n^2+3n&=&3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2+3・\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)+n \\
3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2&=&n^3+3n^2+3n-(\displaystyle \frac{3}{2}n^2+\displaystyle \frac{3}{2}n+n) \\
3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2&=&n^3+\displaystyle \frac{3}{2}n^2+\displaystyle \frac{1}{2}n \\
3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2&=&\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \\
\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2&=&\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
\end{eqnarray}

このように、証明ができました。

3つ目の公式

次に、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\{\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)\}^2$となります。

これを証明するために、次の式を利用します。

$(k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1$

これを変形すると、次の式になります。

$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$

次のように、この式にk=1からnまで代入した式を考えます。

$k=1\cdots 2^4-1^4=4・1^3+6・1^2+4・1+1$

$k=2 \cdots3^4-2^4=4・2^3+6・2^2+4・2+1$

$k=3 \cdots4^4-3^4=4・3^3+6・3^2+4・3+1$

$・・・$

$k=n  (n+1)^4-n^4=4n^2+6n^2+4n+1$

これらの式の両辺を足して変形していきます。

\begin{eqnarray}
(n+1)^4-1^4&=&4(1^3+2^3+3^3+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+4(1+2+3+\cdots+n)+n \\
n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1&=&4\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3+6\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2+4\displaystyle \sum_{k=1}^n k+n \\
n^4+4n^3+6n^2+4n&=&4\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3+6・\displaystyle \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)+4・\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)+n \\
4\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3&=&n^4+4n^3+6n^2+4n-(2n^3+3n^2+n + 2n^2+2n+n) \\
4\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3&=&n^4+2n^3+n^2 \\
4\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3&=&n^2(n+1)^2 \\
\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3&=&\displaystyle \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3&=&\{\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)\}^2 \\
\end{eqnarray}

このように、証明ができました。

シグマの有名な公式のまとめ

今回は、シグマの性質や公式について説明しました。

  • シグマとは何か
  • シグマの計算方法
  • シグマの有名な公式とその証明

シグマの計算において、公式はとても重要になってくるため、しっかり暗記しておきましょう。

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