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三角関数表のサインの表におけるsin35°を導出する

このページでは、sin 35° = 0.573576…を求めるやり方について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、sin35°の求める方法紹介です。

$$\sin 35°=0.573576…$$

目次

10位までsin 35°を調べる

まずは、sin 35°を10桁表してみましょう!$$\sin 35° = 0.5735764363 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin35°の値を明らかにする

三角関数表を確認せずにsin35°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して35°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でsin35°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 35°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.610865…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 35°\)を求められます。

$$\sin 35° = 0.573576…$$

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