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[数2]三角関数の公式一覧、証明や計算方法も解説

今回は三角関数の公式を解説していきます。

この記事を読むだけで、三角関数の公式や重要定理は完全に網羅できます。

目次

三角比の公式

三角比とは、∠Cを90°とする直角三角形ABCにおいて、2辺の長さの比を角度によって表した式です。

サインコサインタンジェント

∠Aにおけるsin(サイン),cos(コサイン),tan(タンジェント)の式は下の図になります。

三角比
三角比

※参考記事
[数1]サインコサインタンジェントとは?表、公式、覚え方をわかりやすく解説

使用例

一般角

固定された半直線OX(始線)と、点Oの周りを回転する半直線OP(動径)の2つの半直線があります。

動径の回転する方向は、時計の針の回転と逆向き(正の向き)と、時計の針の回転と同じ向き(負の向き)があり360°以上回転することも考えます。このように拡張した角を一般角といいます。

一般角
一般角

弧度法

弧度法とは、「弧」の長さをもとに角度を表す方法です。

弧度法の解説
弧度法の解説

※参考記事
[数2]弧度法とは?表、変換、覚え方、考え方、をわかりやすく解説

使用例

三角関数の公式

一般角θの三角関数

原点を中心とする半径rの円と、角θの動径の交点をP(x,y)とします。

このとき、$\sin{\theta}=\frac{x}{r} , \cos{\theta}=\frac{y}{r} , \tan{\theta=\frac{y}{x}}$を一般角θの三角関数といいます。

三角関数

使用例

  1. $\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}$
  2. $\cos{\frac{\pi}{6}=\frac{-\sqrt3}{2}}=-\frac{\sqrt3}{2}\\$
  3. $\tan{\frac{\pi}{6}=\frac{1}{-\sqrt3}=-\frac{1}{\sqrt3}}\\$

三角関数の相互関係

三角関数には以下の関係が成り立ちます。
これらを三角関数の相互関係と言います。

  1. $\tan{\theta=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}$
  2. ${\sin}^2\theta+{cos}^2\theta=1$
  3. $1+{tan}^2\theta=\frac{1}{{cos}^2\theta}$

※参考記事
[数2]三角関数の相互関係、公式、証明、覚え方をわかりやすく解説

使用例

θの動径は第4象限にあり、$\cos{\theta=\frac{3}{5}}$のとき、$\sin{\theta},\ \tan{\theta}$ の値を求めよ。

\begin{eqnarray}
\sin^2\theta&=&1-cos^2\theta\\
&=&1-\left(\frac{3}{5}\right)^2\\
&=&1-\frac{9}{25}\\
&=&\frac{16}{25}\\
&&\sin\theta<0\\
\sin\theta&=&-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5} \\
\tan\theta&=&\sin\theta\div\cos\theta=-\frac{4}{5}\div\frac{3}{5}=-\frac{4}{3}
\end{eqnarray}

三角関数のいろいろな性質

※参考記事
[数2]三角関数の性質と覚え方をわかりやすく解説|全4パターン

使用例

正弦定理と余弦定理

次に正弦定理と余弦定理について紹介します。

正弦定理

△ABCの外接円の半径をRとすると下記の式が得られる。

正弦定理

すなわち、下記の式となる。

※参考記事
[数1]正弦定理の公式と証明

正弦定理の例題

A=45°,B=60°,a=2のとき bとRを求めよ。

解答

余弦定理

△ABCにおいて、下記の式が成立する。

cosの式に変形すると下記の公式が得られる。

※参考記事
[数2]余弦定理の公式と証明【テスト対策】

例題

△ABCにおいて、$b=3,c=5,A=120°$であるとき、辺BCの長さ$a$を求めよ。

答え

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos{A}$より$a^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120°=9+25-30\times(-\frac{1}{2})=49$。

$a>0$より$a=7$。

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加法定理とその応用

加法定理

一般に、sin,cos, tanについて次の加法定理が成り立ちます。

  1. $\sin{\left(\alpha+\beta\right)=\sin{\alpha}}\cos{\beta}+\cos{\alpha\sin{\beta}}$
  2. $\sin{\left(\alpha-\beta\right)=\sin{\alpha}}\cos{\beta}-\cos{\alpha\sin{\beta}}$
  3. $\cos{\left(\alpha+\beta\right)}=\cos{\alpha\cos{\beta}-\sin{\alpha\sin{\beta}}}$
  4. $\cos{\left(\alpha-\beta\right)}=\cos{\alpha\cos{\beta}+\sin{\alpha\sin{\beta}}}$
  5. $\tan{\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\tan{\alpha+\tan{\beta}}}{1-\tan{\alpha\tan{\beta}}}$
  6. $\tan{\left(\alpha-\beta\right)}=\frac{\tan{\alpha-\tan{\beta}}}{1+\tan{\alpha\tan{\beta}}}$

※参考記事
加法定理|覚え方と証明とその応用

使用例

2倍角の公式

加法定理のβをαに置き換えると次の2倍角の公式が得られます。

  • $\sin{2\alpha=2\sin{\alpha\cos{\alpha}}}$
  • $\cos{2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha}=2\cos^2\alpha-1$
  • $\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}$

※参考記事
[数2]ニ倍角の公式|導出と語呂合わせでの覚え方も解説【テスト対策】

例題

$\frac{\pi}{2}<\alpha<,\ \sin{\alpha=\frac{1}{3}}$のとき、$\sin{2\alpha}\ ,\ \cos{2\alpha\ ,\ \tan{2\alpha}}$の値を求めよ。

解答

$\cos{2\alpha}=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{7}{9}$。$\frac{\pi}{2}<\alpha<$より、$\cos{\alpha}<0$。$\cos{\alpha}=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$。$\tan{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=-\frac{4\sqrt{2}/9}{7/9}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$(三角関数の相互関係を利用)。

半角の公式

コサインの2倍角の公式より、半角の公式が得られます。

  • $sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}$
  • $cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}$
  • $tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}$

※参考記事
[数2]半角の公式の証明|加法定理から導出する手順を解説!

[数2]半角の公式の覚え方|語呂合わせだけじゃない3つの暗記法

3倍角の公式

2倍角の公式を利用して、3倍角の公式を得られます。

  • $\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha-4sin^3\alpha}$
  • $\cos{3\alpha}=-3\cos{\alpha}+4cos^3$

※参考記事
[数2]三倍角の公式|覚え方と導出を解説【テスト対策】

三角関数の合成

$a\sin{\theta+b\cos{\theta}}$で表された式をsinだけの式にまとめる公式です。 加法定理を利用した公式です。

$a\sin{\theta+b\cos{\theta}}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{\left(\theta+\alpha\right)}$ ただし、$\alpha$は次の式を満たす角です。 $\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ ,\ \sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

※参考記事
[数1]三角関数の合成の公式と証明、最大最小、cosの計算も解説

使用例

$\sqrt3\sin{\theta}-\cos{\theta}=r\sin{\left(\theta+\alpha\right)}$とおくと、 $r=\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{3+1}=2$ 図より、$\alpha=-\frac{\pi}{6}$ よって、$\sqrt3\sin{\theta}-\cos{\theta}=2\sin{\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$

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