Questa volta, spiegherò su \(e^x\).
\(e^x\) è una funzione peculiare che rimane \(e^x\) indipendentemente dal fatto che sia differenziata o integrata.
$$(e^x)'=e^x\Leftrightarrow \displaystyle\int e^x dx=e^x+C$$
Come nella formula sopra, viene fuori la stessa funzione. (C è la costante integrale)
Mi concentrerò sul motivo per cui appare la stessa funzione!
Cos'è e (numero di Nepier)?
\(e\) (numero di Nepier) è un numero utilizzato anche come base dei logaritmi naturali.
È usato come \(\log_e x\), ed è usato così spesso che una regola può essere abbreviata come \(\log x\).
La definizione del numero di Napier è la seguente.
Definizione di numero di Napier
\(y=a^x(a>0,\ a≠0)\) valore al quale il coefficiente differenziale in \(x=0\) è \(1\)
Il numero di Napier \(e\) è un numero irrazionale,
noto per essere \(e=2.718281828459\cdots\)
Spieghiamoli uno per uno.
Definizione di Napier numero XNUMX
Spiegherò "valori in cui il coefficiente differenziale di \(y=a^x(a>0,\ a≠0)\) in \(x=0\) è \(1\)".
La derivata di \(y=a^x\) in \(x=0\) fornisce la pendenza della tangente a \(y=a^x\) in \(x=0\).
Sappiamo che la pendenza della retta tangente aumenta all'aumentare di \(a\).
\(a=2\) è minore di \(1\) e \(a=3\) è maggiore di \(1\), quindi \(a=2\) e \(a=3\) Puoi vedi che c'è \(a\) tra cui la derivata è \(1\).
La linea rossa è \(y=2^x\) e la linea blu è \(y=3^x\).
Il valore di \(a\) al quale questo coefficiente differenziale diventa \(1\) è il numero di Napier \(e\),
\(e=2.718281828459\cdots\)
Perché abbiamo bisogno del numero di Napier?
Il motivo per cui è necessario un valore così complicato è che "Volevo una funzione che non cambia se differenziata o integrataPerché.
Il preambolo è stato lungo, ma finalmente è l'argomento principale.
In altre parole, "il numero di Nepier è una funzione che non cambia anche se è differenziata o integrata" non è corretto,
Per la precisione si tratta di "ho fatto una funzione che non cambia anche se differenziata o integrata".
Spiegherò in dettaglio.
Troviamo il coefficiente differenziale di \(a^x\) in \(x=0\).
Sia \(f(x)=a^x\).
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&
\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ \\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^xa^ha^x}{h}\\\\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^0 a^ha^0}{h}\\\\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^h-1}{h}
\end{eqnarray}
Questo \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{a^h-1}{h}\) diventa \(1\) \(a\) diventa \(e\) .
$$\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h}=1$$
Ecco perché.
Differenziazione di \(e^x\)
Quindi, possiamo differenziare il numero di Napier \(e\) come segue.
\begin{eqnarray}
(e^x)' &=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ \\
&=& \displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^xe^he^x}{h}\\\\
&=& e^x\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h} \end{eqnarray}
Qui, da \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h}=1\),
\begin{eqnarray} (e^x)'&=& e^x\cdot 1 \\
&=& e^x \end{eqnarray}
\((e^x)'=e^x\) è stato dimostrato.
\((e^ x)'=e^x\) è stato calcolato.
Come accennato in precedenza, "ho trovato \(e(=2.71\cdots)\) quando ho cercato \(a\) dove \((a^x)'=a^x\) vale" è più preciso. va bene comunque.
integra \(e^x\)
Infine, per quanto riguarda l'integrale di seguito.
$$\displaystyle\int e^x dx=e^x+C$$
\(C\) è la costante di integrazione.
La dimostrazione dell'integrale di cui sopra è \((e^x)'=e^x\), che vale perché l'integrale è l'inverso della differenziazione.
と な り ま す.
Questa volta è finita!
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