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三角関数表のコサインの表におけるcos292°を導出する

今回は、cos 292° = 0.374606…を三角関数表を使わずに求める処理方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos292°の計算方法説明です。

$$\cos 292°=0.374606…$$

目次

10桁のcos 292°を表す

初めに、cos 292°を10桁書いてみましょう!$$\cos 292° = 0.3746065934 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos292°の値を求める

三角関数表を使わずにcos292°の値を算出する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して292°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos292°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 292°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.096361…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 292°\)を求められます。

$$\cos 292° = 0.374606…$$

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