今回は、sin 36° = 0.587785…を算出するやり方について共有します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を明らかにしていきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
・・・ | ・・・ | ||
sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin36°の算出方法紹介です。
$$\sin 36°=0.587785…$$
sin 36°を10桁確認
早速ですが、sin 36°を10桁表してみましょう!$$\sin 36° = 0.5877852522 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin36°の値を解く
三角関数表を活用せずにsin36°の値を算出する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。
2のやり方だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でsin36°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 36°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.628318…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 36°\)を求められます。
$$\sin 36° = 0.587785…$$
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