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[中1]分配法則とは?証明と問題、逆、分数、割り算を簡単に解説

今回のテーマは『分配法則』です。

分配法則は計算では欠かせない法則です。間違いが多い分数と負の数に重点を置いて解説しましたので、最後まで読んでもらえれば、テストでも計算ミスを減らせますよ!

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目次

分配法則とは

分配法則とは、数学の法則の1つであり、下記の式のように掛け算を簡略化できる法則のことです。

$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$

分配法則の証明

2つの四角形があったとき、面積を求めるには2つの面積を求めて足すか、一気に面積を求めるかの2通りの方法があります。

分配法則の証明
分配法則の証明

図の四角形で2つの面積を求めて足すと、\(a\times b+a\times c\)になります。

一気に求めると、\(a\times (b+c)\)になります。

これはどちらも同じ面積を求めているのでイコールで結ぶことができます。

$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$

他のパターンの証明も知りたい方は、こちらの記事をご参照ください。

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分配法則の逆

逆とは、法則を逆転させることを意味しています。

式で書くとこうなります。

$$a\times b+a\times c=a\times(b+c)$$

どちらも同じ面積を表しているので、逆ももちろん成り立ちます。

わり算の分配法則

割り算の場合は、逆数のかけ算にしてやればOKです。

$$(a+b)\div c=(a+b)\times\displaystyle \frac{1}{c}=\displaystyle \frac{a}{c}+\displaystyle \frac{b}{c}$$

これでOK

注意点は、\(a\div (b+c)≠a\div b+a\div c\)にはできない点です。

$$a\div (b+c)=\displaystyle \frac{a}{b+c}$$

だからです!気をつけましょう!

分数があるときの分配法則

分数があるときの分配法則を説明します。

基本的にやることは同じです!

$$24\times\left( \displaystyle \frac{3}{8}+\displaystyle \frac{1}{6}\right)$$

素直に計算すると、かっこの中を通分して計算し、最後に\(24\)をかけますよね。

しかし、分配法則であれば簡単に計算できます。

\begin{eqnarray} & &24\times\left( \displaystyle \frac{3}{8}+\displaystyle \frac{1}{6}\right)\\\\
&=& 24\times\displaystyle \frac{3}{8}+ 24\times\displaystyle \frac{1}{6}\\
&=& 9+4\\
&=&13 \end{eqnarray}

かける数と分数の中身にもよりますが、覚えておくと良いでしょう。

正の数と負の数が混ざった分配法則

最後は負の数と正の数が混ざった分配法則です。

$$(-12)\times\left(- \displaystyle \frac{5}{6}+\displaystyle \frac{3}{4}\right)$$

を計算してみましょう。

\begin{eqnarray} & &(-12)\times\left(- \displaystyle \frac{5}{6}+\displaystyle \frac{3}{4}\right)\\\\
&=&(-12)\times\left(- \displaystyle \frac{5}{6}\right)+(-12)\times\left( \displaystyle \frac{3}{4}\right) \\
&=& (+10)+(-9) \\ &=& -19 \end{eqnarray}

このように正負の数の乗法のルールを守れば難しい問題ではありません。

分配法則の計算問題

ここから分配法則を使って計算問題を解いていきましょう。

分配法則の掛け算

問題

次の式を計算せよ。

(1) $(3a+4b)×2 = $

(2) $5x(6a+7b)=$

(3) $(3c+4d+5e) x 6=$

(4) $10x(9c-8d)=$

(5) $(a-2b+3c-4d+5e) x 5$

解答

(1) $6a + 8b$

分配法則を用いて、式を簡単にすると次のようになります。
$3a x 2 + 4b x 2$

これを計算すると、$6a + 8b$

(2) $30a + 35b$

分配法則を用いて、式を簡単にすると次のようになります。
5x6a + 5x7b

この式を計算すると、$30a + 35b$

(3) $18c + 24d + 30e$

分配法則を用いると、この式は次のように単純化できる。
$3c x 6 + 4d x 6 + 5e x 6$

計算すると、$18c + 24d + 30e$

(4) $90c – 80d$

分配法則を用いると、この式は次のように単純化できる。
$10x9c – 10x8d$
よって、$90c – 80d$

(5) $5a-10b+15c-20d+25e$

分配法則を用いると、この式は次のように単純化できる。
$a\times5-2b\times5+3c\times5-4d\times5+5e\times5$

よって、$5a-10b+15c-20d+25e$

よくある質問

よくある質問
よくある質問
Q
分配法則とは何ですか?
A

分配法則とは、数学の法則の1つです。式で表すと(a+b)×c = a×c + b×cです。

Q
分配法則の使い方が知りたいです
A

分配法則は、単項式と多項式の掛け算、割り算を簡単にするために使います。たとえば、2×(3+4)を計算したい場合、分配法則を使って、次のように式を簡略化することができます。2 x 3 + 2 x 4 となり、6+8=14と計算できます。

Q
分配法則の使用には制限がありますか?
A

分配法則の使用には、特に制限はありません。ただし、足し算や引き算など、他の演算を伴う式を簡略化するためには使えません。

Q
分配法則はどのように証明するのですか?
A

分配法則は、2つの四角形の面積で求める方法が一般的です。縦の長さがa,横の長さがbの四角形と、縦の長さがa,横の長さがcの四角形の面積の合計を2通りの方法で求めます。2つの四角形を同時に求める方法と、2つの四角形を別で求めて足す方法です。前者の面積はa×(b+c)であり、後者の面積はa×b+a×cとなります。面積は等しいため、a×(b+c)=a×b+a×cが成立します。

分配法則のまとめ

分配法則とは、数学の法則の1つであり、下記の式のように掛け算を簡略化できる法則のことです。

$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$

上記の式のようにかっこを外して分解できる計算方法です。

分配法則の証明は知っておくだけで良いですが、公式自体はしっかりと覚えておきましょう。

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