今回は中1で習う比例と反比例について解説します。
比例と反比例は関数と呼ばれ、これから習う一次関数や二次関数の基本になりますので、しっかり理解しておきましょう。
このページに比例と反比例の重要事項をまとめていますので、テスト前などにもぜひご活用ください。
関数
関数
x時間やy㎝などいろいろな値をとるxやyなどの文字を変数といいます。
2つの変数x,yがあり、変数xの値を決めると、それにともない変数yの値もただ1つ決まるとき、「yはxの関数である」といいます。
変数のとりうる値の範囲を、その変数の変域といいます。不等号や数直線を使って下記のように表します。
例）
例）
比例
yがxの関数で、「y=ax」の形の式で表されるとき「yはxに比例する」といいます。
このとき、文字aを「比例定数」といいます。
yがxに比例し、x≠0のとき、y/xの値は一定で、比例定数に等しいです。
y=axでは、xの値が2倍，3倍，･･･となると、それにともない
yの値も2倍，3倍，･･･となります。
例）
縦4㎝，横x㎝の長方形の面積をy㎠とする。
このとき、yをxの式で表すと、
y=4x
となります。
この式はy=axの形で表されているので、yはxに比例します。
また、比例定数は4です。
例題
yはxに比例し、x=3のとき、y=15です。このとき、yをxの式で表せ。
解
求める式は、比例定数をaとすると、y=ax･･･①とおけます。
x=3のとき、y=15であるから、①に代入して、
15=3a
a=5
よって、求める式は、y=3xです。
比例のグラフ
図のように、座標の横の直線を「x軸(横軸)」，縦の直線を「y軸(縦軸)」，x軸とy軸を合わせて「座標軸」といいます。
また、座標軸の交点Ｏを「原点」といいます。
上の図のように、点のx座標とy座標を読み取り、点Pは(4,3)，点Qは(-2,-4)と表します。
y=axのグラフは、原点を通る直線です。
a>0のときは右上がり、a<0のときは右下がりの直線です。
比例の表・式・グラフ
以下はy=2xのxの値にyの値を対応させた表とグラフです。
x≠0のときy/xの値は一定で、比例定数2に等しいです。
とくに、x=1のときyの値が比例定数と等しくなります。
例）
上のグラフは比例のグラフです。
比例定数をaとすると、y=ax･･･①とおけます。
グラフは(2,-1)を通るので①にx=2，y=-1を代入して
-1=2a
a=-1/2
よって、グラフの式はy=-(1/2)xです。
反比例
反比例する量
yがxの関数で、
y=a/x
の式で表されるとき「yはxに反比例する」といいます。
定数aは比例定数です。
yがxに反比例するとき、xとyの積xyの値は一定で、比例定数に等しいです。
反比例y=a/xでは、xの値が2倍，3倍，4倍，･･･となると、それにともない
yの値は、1/2倍，1/3倍，1/4倍，･･･となります。
例題
yはxに反比例し、x=-2のときy=6である。yをxの式で表せ。
解
比例定数をaとすると、式はy=a/x･･･①とおけます。
x=-2,y=6を①に代入すると
6=a/2
a=2*6
a=12
よって、求める式は y=12/x
反比例のグラフ
aを定数とするとき、y=a/xのグラフは、「双曲線」とよばれる曲線になります。
このグラフはx軸，y軸とは交わりません。
反比例の表・式・グラフ
以下は、y=12/xのxの値にyの値を対応させた表とグラフです。
xとyの積xyの値は一定で、比例定数12に等しいです。
特に、x=1のとき、yの値が比例定数と等しくなります。
例）
上のグラフは反比例のグラフです。
比例定数をaとすると、y=a/x･･･①とおけます。
aはx=1のときのyの値と等しいので、a=-3です。
よって、yをxの式で表すと、
y=-3/x です。
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