今回は中1で習う空間図形について解説します。
空間図形は平面図形と違って、頭の中でイメージする必要がありますので、難しいと感じる人が多いです。
このページでは空間図形のイメージができるよう、図をたくさん使って解説していますので、テスト前などにもぜひご活用ください。
いろいろな立体
角柱
底面が三角形，四角形，･･･の角柱を三角柱,四角柱･･･といいます。
また、底面が正三角形，正方形･･･で、側面がすべて合同な長方形である角柱をそれぞれ、正三角柱，正四角柱･･･といいます。
角錐
底面が三角形，四角形，･･･の角錐を三角錐,四角錐･･･といいます。
また、底面が正三角形，正方形･･･で、側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐をそれぞれ、正三角錐，正四角錐･･･といいます。
円柱・円錐
底面が円になっている立体です。
正多面体
角柱や角錐のように、平面だけで囲まれた立体を「多面体」といいます。
なかでも、どの面もすべて合同な正多角形で、どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている多面体を「正多面体」といいます。
正多面体は以下の5種類です。
正多面体の頂点、面、辺の数は下の表のとおりです。
どの正多面体も
(面の数)-(辺の数)＋(頂点の数)=2
が成り立ちます。
立体の見方と調べ方
直線や平面の位置関係
2つの平面の位置関係
空間内の2つの平面の位置関係は以下の2通りです。
①平面αと平面βが交わる
交わったところにできる線は直線で、「交線」といいます。
②平面αと平面βが平行
平面と直線の位置関係
空間内の平面と直線の関係は以下の3通りです。
①直線が平面α上にある
②直線が平面αと交わる
③直線と平面αが平行
2つの直線の位置関係
空間内にある2つの直線の位置関係は以下の3通りです。
直線と平面の垂直
下の図のように直線が平面α上のどの直線にも垂直になっているとき、直線は平面αに垂直です。
平面と平面の作る角
2つの平面αとβの作る角は、その交線上の点でそれぞれの平面上に引いた2つの垂線の作る角のことです。
点と平面の距離
1つの点Aから平面αにひいた垂線と、αとの交点をHとするとき、線分AHの長さを点Aと平面αとの距離といいます。
また、平行な平面において、一方の平面上の点ともう一方の平面との距離はすべて等しく、この距離を平面と平面の距離といいます。
角柱や円柱では、2つの底面は平行で、1つの底面上の点と他の底面との距離が角柱や円柱の高さです。
角錐や円錐では、底面とそれに対する頂点との距離が角錐や円錐の高さです。
面の動き
下の図のように円柱や円錐は、それぞれ長方形や直角三角形を空間で回転させてできた立体です。
このとき、円柱や円錐の側面を描く辺ABを、「母線」といいます。
また、このように1つの直線を軸として平面図形を回転させてできる立体を「回転体」といいます。
立体の投影図
立体をある方向から見て平面に表した図を「投影図」といい、真上から見た図を平面図、正面から見た図を「立面図」といいます。
立体を投影図で表すときは、平面図と立面図を使って表します。
例）
立体の体積と表面積
体積
角柱・円柱の体積
底面積をS，高さをhとすると、体積Vは以下の式で求めれます。
$V=Sh$
角錐・円錐の体積
底面積をS，高さをhとすると、体積Vは以下の式で求めれます。
$V=\displaystyle \frac{1}{3}Sh$
例）
表面積
立体の全ての面の面積の和を「表面積」，側面全体の面積を「側面積」，1つの底面の面積を「底面積」といいます。
例）
球の体積と表面積
半径$r$の球の体積$V$，表面積$S$は以下の式で求めれます。
$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$
$S=4\pi r^2$
例）
半径$3$㎝の球の体積と表面積を求めよ。
解）
$V=\dfrac{4}{3}\pi 3^3$
$=36\pi\text{ (㎤)}$
$S=4\pi 3^2$
$=36\pi\text{ (㎠)}$
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